Bild, Urbild, Regularität < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Mi 06.04.2005 | | Autor: | Maiko |
Hallo!
Ich hoffe, ich bin im Forum Algebra richtig gelandet. Meine Diskussionsname müsste doch passen oder?
Ich habe ein paar Aufgaben zu linearen Abbildungen. Leider fehlt mir aber irgendwie ein Algrotithmus zum Herangehen an die Aufgaben, was sicherlich auf fehlendes Wissen schließen lässt.
Aus diesem Grunde wende ich mich an euch:
Durch
y1=3x1 + x2
y2= x1 + 4x2
y3= x1 + 5x2
(y=Ax)
wird eine lineare Abbildung [mm] \Phi [/mm] : R² -> [mm] R^3 [/mm] beschrieben.
a) Man ermittle [mm] \Phi (R^2) [/mm] (Wertebereich von [mm] \Phi [/mm] ) und [mm] \Phi [/mm] ^-1(0) (Kern von [mm] \Phi [/mm] )
b) Man beweise, dass [mm] \Phi [/mm] regulär ist.
c) Von g: x1 + x2 = 0 (g [mm] \subset R^2) [/mm] bestimme man das Bild [mm] \Phi(g)
[/mm]
d) Von E: y1-y2+y3=2 (E [mm] \subset R^3) [/mm] bestimme man das Urbild [mm] \Phi [/mm] ^-1(E).
Meine Fragen:
Was wird hier eigentlich für eine Abbildung beschrieben? Kann man sich das irgendwie grafisch vorstellen? Könnte das eine Ebene sein? Sind ja zwei Richtungsvektoren angegeben oder?
Wie ich bei a vorgehen muss, ist mir eigentlich klar. Ich wandle obiges Gleichungssystem einfach in eine Ebenengleichung um (parameterfrei).
Allerdings würde mir eine Erklärung helfen, warum ich dies machen muss?!
Schließlich steht doch dann dort doch nicht der Wertebereich oder?
Bei b, c und d habe ich fast gar keinen Ansatz.
Muss ich bei c und d die Formel y=Ax umstellen. Das würde mir irgendwie logisch vorkommen, da ich ja dann nach y(Bild) und x(Urbild) umstellen könnte.
Bitte um Hilfe und ausführlichere Erläuterung, da ich hier wirklich nicht weiter weiß.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:26 Do 07.04.2005 | | Autor: | Hexe |
Also zu a) hier gehst du vor wie immer bei so einer aufgabe du suchst dir eine Basis des Urraums und bildest diese ab. Das Erzeugnis der Bilder der Basisvektoren ist dann der Bildraum. Deine Ideen zu c und d sind richtig, also A bestimmen bei c einfach Ag ausrechnen und bei d ax=E lösen hierbei ist g als vektor zu betrachten also [mm] g=\vektor{a\\-a}, [/mm] a [mm] \in \IR [/mm] und E dann analog. Bei der b bin ich leider auch überfragt. Da A ne [mm] 2\times [/mm] 3 Matrix is versteh ich nicht wie sie regulär sein soll, Sorry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Sa 09.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
"Regulär" soll hier wohl nur bedeuten, dass die Matrix maximalen Rang hat. Bilde also die Abbildungsmatrix von [mm] $\Phi$ [/mm] bezüglich der Standardbasis und zeige, dass die beiden Spalten dieser $3 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix linear unabhängig sind.
Viele Grüße
Stefan
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