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| Aufgabe | Sei V ein endlich-dimensionaler K -Vektorraum und $ f: V [mm] \to [/mm] V $ sei eine lineare Abbildung mit $f [mm] \circ [/mm] f = f$.
Beweisen Sie:
$Bild(f)$ ist ein komplementärer Unterraum zu $Kern(f)$ in V . |
Hallo zusammen!
Ich hänge bei dieser Aufgabe am zweiten Kriterium eines Komplements fest und stehe unter Zeitdruck. Könnte mir jemand eine Methode erklären, wie ich diesen Beweis führe? Hier was ich bisher habe:
z.z.:
(1) Kern(f) [mm] \cap [/mm] Bild(f) = [mm] \{0\}
[/mm]
(2) Kern(f) + Bild(f) = V
zu (1):
Seien v [mm] \in [/mm] Kern(f) und w [mm] \in [/mm] Bild(f).
Angenommen [mm] \exists [/mm] w [mm] \in [/mm] Bild(f) mit f(w) = 0 und w [mm] \not= [/mm] 0.
Sei u [mm] \in [/mm] V mit f(u) = w, so gilt
f(w) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] f( f(u) ) = 0 [mm] \Rightarrow_{n. V.} [/mm] f(u) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] w = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Widerspruch!
[mm] \Rightarrow [/mm] Kern(f) [mm] \cap [/mm] Bild(f) = {0}
Beim zweiten Kriterium fehlt mir wie gesagt momentan die zündende Idee. Kann jemand helfen?
Vielen Dank im Voraus.
LG ~W
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:55 Mi 14.01.2009 | | Autor: | Merle23 |
Kern(f) ist ein UVR von V.
In diesem Falle ist auch Im(f) ein UVR von V.
Jetzt benutze die Dimensionsformel für lineare Abbildungen, Teilaufgabe 1 und einen Widerspruchsbeweis.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:24 Do 15.01.2009 | | Autor: | Wastelander |
Hm, ich habe jetzt einige Zeit drangesessen und überlegt. Dass Kern(f) und Bild(f) beides UVR in V sind ist ja klar. Wie mir jedoch die Dimensionsformel weiterhelfen kann will mir nicht einleuchten.
Einen Beweis würde ich so ansetzen, dass ich annehme, es gäbe ein v [mm] \in [/mm] V, das sich nicht als v = u + w ( u [mm] \in [/mm] Kern(f), w [mm] \in [/mm] Bild(f) ) darstellen ließe und dies zu einem Widerspruch führen. Allerdings will sich mir in diesem Falle, wie gesagt, nicht der Nutzen der Dimensionsformel erschließen.
Eventuell ist es einfach schon zu spät, um sich noch damit zu beschäftigen. *g* Wäre jemand bitte so freundlich mir noch einen Hinweis zu geben wie ich diesen Beweis führen kann? Vielleicht schaffe ich es dann ja morgen früh, die Aufgabe zuende zu rechnen.
Besten Dank jetzt schon und gute Nacht. :)
LG ~W
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:56 Do 15.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Kern(f) ist ein UVR von V.
> In diesem Falle ist auch Im(f) ein UVR von V.
> Jetzt benutze die Dimensionsformel für lineare
> Abbildungen, Teilaufgabe 1 und einen Widerspruchsbeweis.
Ja, bei endlich-dimensionalen Vektorraeumen geht das super.
Man kann es allerdings auch direkt zeigen:
Sei $v [mm] \in [/mm] V$. Dann liegt $v - f(v)$ im Kern von $f$, und $f(v)$ im Bild von $f$. Was kann man damit jetzt machen?
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:49 Do 15.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Mach Dir zunächst folgendes klar:
Wegen [mm] f^2 [/mm] = f gilt:
kern(I-f) = Bild(f) = { v [mm] \in [/mm] V: f(v) = v } ( I = Id. auf V)
Bemerkung: Die Vor. " dimV < [mm] \infty [/mm] " braucht man nicht, man braucht also keine Dimensionsformel und eine Widerspruchsbeweis schon gar nicht.
FRED
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