Bild, Kern , Dimension < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:26 Do 07.06.2007 | | Autor: | bjoern.g |
| Aufgabe | | [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 } [/mm] |
Hi kann mir vll mal jemand erklären wie man an diesem beispiel kern , bild und dim. erklären ... unser prof hat das alles nur so an die tafel geklatscht da hat man 0 verstanden ... und in büchern naja ist sehr kompliziert erklärt vll. kanns einer ganz gut erklären wäre nett :)
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> A:= [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 }[/mm]
> vll mal jemand erklären wie man an diesem beispiel kern ,
> bild und dim. erklären ...)
Hallo,
das Bild von A ist der Raum, der von den Spaltenvektoren erzeugt wird,
also Bild [mm] A=<\vektor{1 \\ 3\\6}, \vektor{2 \\ 4\\7}, \vektor{3 \\ 5\\8}>.
[/mm]
Die Dimension von Bild A wird auch als Rang von A bezeichnet.
Die Dimension von Bild A findest Du, wenn Du aus dem Erzeugendensystem eine maximale linear unabhängige Teilmenge von Vektoren "herausfilterst".
Oder: Du bringst die Matrix auf Zeilenstufenform. Die Anzahl der Zeilen, die keine Nullzeilen sind, ist der Rang der Matrix. Also die Dimension des Bildes.
Der Kern ist die Lösungsmenge der Gleichung
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 }\vektor{x \\ y\\z}=\vektor{0 \\ 0\\0}.
[/mm]
Der Kern ist ein VR, und dessen Dimension ist die Dimension des Kerns.
Um den Kern zu bestimmen ist also obiges GS zu lösen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Do 07.06.2007 | | Autor: | bjoern.g |
| Aufgabe | | [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 } [/mm] |
Hi kann mir vll mal jemand erklären wie man an diesem beispiel kern , bild und dim. erklären ... unser prof hat das alles nur so an die tafel geklatscht da hat man 0 verstanden ... und in büchern naja ist sehr kompliziert erklärt vll. kanns einer ganz gut erklären wäre nett :)
mhh die lösungsmenge wäre doch aber automatisch 0 wenn die dimension = 3 ist also ne 1 er hauptdiagonale
wie ist denn dann der kern definiert =0 ? gibts denn auch andere möglichkeiten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 Do 07.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo bjoern
warum gehst du auf die Antwort nicht ein?
Wenn das Bild schon 3-d ist, muss der Kern 0-d sein, also nur der Nullvektor.Aber bei deiner matrix ist ja das Bild nur 2-d, folgt der Kern ist 1-d. um ihn zu finden musst du das GS lösen.
Weitere Fragen bitte mit Bezug auf den oder die posts, damit man weiss, was du schon kapiert hast.
Ein nettes Wort statt mh wär vieleicht auch angebracht, wenn man so schnell und gut Antwort kriegt.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:45 Do 07.06.2007 | | Autor: | bjoern.g |
alles klar jetzt hab ichs verstanden :) danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Do 07.06.2007 | | Autor: | bjoern.g |
höchstens :) wie wäre es denn dann bei einem 1 Spaltenvektor kann ich dort auch kern und und dimension bestimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Do 07.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1 Spaltenvektor= Matrix was soll die tun? meinst du ein spaltenvektor, Rest Nullen, dann bild 1d Kern 2d
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Do 07.06.2007 | | Autor: | bjoern.g |
ja genau das meinte ich thx :)
basis beschreibt ja nur ob es sich im raum [mm] R^3 [/mm] oder [mm] R^2 [/mm] befindet bzw [mm] R^n
[/mm]
also wenn ich ne dim (3) habe .. ist die basis [mm] R^3 [/mm] richtig ?
vielen dank
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> basis beschreibt ja nur ob es sich im raum [mm]R^3[/mm] oder [mm]R^2[/mm]
> befindet bzw [mm]R^n[/mm]
Hallo,
ich verstehe nicht, was Du sagen möchtest.
Wenn man irgendwo eine Basis aus zwei Vektoren hat, bedeutet das nicht, daß man sich im [mm] \IR^2 [/mm] befindet.
Es ist der von [mm] \vektor{1 \\ 2\\3} [/mm] und [mm] \vektor{4 \\ 5\\6} [/mm] aufgespannte Raum doch nicht [mm] =\IR^2, [/mm] sondern eine Ebene im [mm] \IR^3.
[/mm]
>
> also wenn ich ne dim (3) habe .. ist die basis [mm]R^3[/mm] richtig
> ?
Auch diesen Satz kann ich kaum verstehen.
Ich reime es mir so zusammen:
Wenn Du einen dreidimensionalen Unterraum des [mm] \IR^3 [/mm] hast, ist dieser Unterraum der [mm] \IR^3 [/mm] selbst.
Falls Du es so meintest: richtig.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Do 07.06.2007 | | Autor: | bjoern.g |
ok vll. bischen undeutlich ausgedrückt ;)
es mir noch um die definition "basis" . hängt die basis mit der dimension zusammen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Do 07.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
als Basis eines VR bezeichnet man eine Menge lin unabh. Vektoren, durch die mann jeden Vektor in dem Raum als linearkomb.darstellen kann. deshalb muss eine Basis des [mm] \IR^n [/mm] aus n linear unabh. Vektoren bestehen.
Gruss leduart.
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