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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 Di 13.11.2012 | | Autor: | Jecky92 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich habe zwei Frage an euch:
1) Ich soll prüfen, ob folgende Folgen [mm] (x_{n})_{n} [/mm] c [mm] \IQ [/mm] ( rat. Zahlen) und [mm] (y_{n})_{n} [/mm] c [mm] \IQ [/mm] konvergieren: [mm] x_{n}:= \bruch{n^4+4n-5}{(n^2+1)(2n-1)} [/mm] und [mm] y_{n} [/mm] := [mm] (1-\bruch{1}{n^2})^n [/mm] -> Grenzwert berechnen, weiß aber nicht mehr genau wie das war ... bei mir würde nämlich dann für lim [mm] (x_{n}) [/mm] = 1/3 und für lim [mm] (y_{n})=1 [/mm] rauskommen, also konvergiert es nicht ?
2) Angenommen, F sei ein angeordneter Körper, und die Folge( [mm] x_{n})_{n} [/mm] c [mm] \IQ [/mm] konvergiere gegen eine Zahl [mm] x_{0} \in [/mm] F. Zeigen Sie: Ist dann f : IN −> IN bijektiv, so konvergiert auch die Folge [mm] (x_{f(n)})_{n} [/mm] gegen x0. -leider garkeine Idee zu ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 Di 13.11.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
bei der Folge [mm] x_n [/mm] würde ich Zähler und Nenner durch die höchste Potenz des Nenners dividieren und dann [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n [/mm] berechnen.
Bei der Folge [mm] y_n [/mm] solltes Du [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n=e [/mm] verwenden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Di 13.11.2012 | | Autor: | Jecky92 |
Okay, danke schonmal für diesen Ansatz! :)
Aber mein Problem ist eher der zweite Teil ... da weiß ich leider nicht sinnvolles zu ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:16 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay, danke schonmal für diesen Ansatz! :)
> Aber mein Problem ist eher der zweite Teil ... da weiß ich
> leider nicht sinnvolles zu ...
nunja: Sei $f: [mm] \IN \to \IN$ [/mm] bijektiv und es gelte [mm] $\IQ \ni x_n \to x_0 \in [/mm] F$ bei
$n [mm] \to \infty\,.$ [/mm] Ist [mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so gibt es ein [mm] $N=N_\varepsilon \in \IN$
[/mm]
so, dass [mm] $|x_n -x_0| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Ich behaupte nun: Es gibt ein $N' [mm] \in \IN$ [/mm] so, dass
[mm] $$f(\{1,...,N'\})=\{f(1),\ldots,f(N')\} \supseteq \{1,\ldots,N\}\,.$$
[/mm]
(Beweis? Tipp: Die Menge [mm] $\{f^{-1}(1),\ldots,f^{-1}(N)\}$ [/mm] hat ein Maximum!)
Was folgt dann für alle $n [mm] \ge [/mm] N'$ bzgl. [mm] $x_{f(n)}$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:11 Mi 14.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Zu [mm] (y_n):
[/mm]
Klar dürfte sein: [mm] y_n \le [/mm] 1 für alle n.
Zeige: [mm] y_n \ge [/mm] 1-1/n (Bernoulli !)
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:34 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Zu [mm](y_n):[/mm]
>
> Klar dürfte sein: [mm]y_n \le[/mm] 1 für alle n.
>
> Zeige: [mm]y_n \ge[/mm] 1-1/n (Bernoulli !)
das ist übrigens interessant:
Man kann ja [mm] $\lim_{n \to \infty}\left(1-\frac 1 n\right)^n=\frac [/mm] 1 e$ aus diesem folgern:
[mm] $$\left(1-\frac 1 n\right)^n=\left(\frac{n-1} n\right)^n=\left(\frac{1}{1+\frac{1}{ n-1}}\right)^n=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{ n-1}\right)^n}$$
[/mm]
Man kann es aber - wenn man obigen GW mit Deinem Hinweis berechnet - auch
folgern aus:
[mm] $$\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n*\left(1-\frac{1}{n}\right)^n$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:35 Mi 14.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > Zu [mm](y_n):[/mm]
> >
> > Klar dürfte sein: [mm]y_n \le[/mm] 1 für alle n.
> >
> > Zeige: [mm]y_n \ge[/mm] 1-1/n (Bernoulli !)
>
> das ist übrigens interessant:
> Man kann ja [mm]\lim_{n \to \infty}\left(1-\frac 1 n\right)^n=\frac 1 e[/mm]
> aus diesem folgern:
> [mm]\left(1-\frac 1 n\right)^n=\left(\frac{n-1} n\right)^n=\left(\frac{1}{1+\frac{1}{ n-1}}\right)^n=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{ n-1}\right)^n}[/mm]
>
> Man kann es aber - wenn man obigen GW mit Deinem Hinweis
> berechnet - auch
> folgern aus:
>
> [mm]\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n*\left(1-\frac{1}{n}\right)^n[/mm]
>
> Gruß,
> Marcel
Hallo Marcel,
Was Du oben gesagt hast , ist alles richtig. Viele Wege führen bekanntlich nach Rom. Ich bevorzuge meist den kürzesten (wenn es einen gibt)
Gruß FRED
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