Bijektive Abbildung finden < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 So 25.10.2009 | | Autor: | xtraxtra |
| Aufgabe | Es sei für die natürliche Zahl n [mm] \in \IN [/mm] und der Menge [mm] \IZ [/mm] der ganzen Zahlen
[mm] n\IZ:=\{k \in \IZ | \exists l\in\IZ : k=ln\}
[/mm]
Finden Sie für alle [mm] m,n\in\IN [/mm] eine Bijektion [mm] f_{m,n}:m\IZ \to n\IZ. [/mm] Beweisen Sie, dass die Abbildung eine Bijektion ist. |
Hallo erstmal.
Ich sitze nun schon seit einer ganzen Zeit vor dieser Frage, aber wirklich weiter gekommen bin ich bis jetzt noch nicht.
Hier mal meine bisherigen Überlegungen:
[mm] n\IZ [/mm] ist also die Menge [mm] \IZ [/mm] multipliziert mit einer natürlichen Zahl also falls n=2 folgt: [mm] n\IZ=\{...,-4,-2,0,2,4,...\}
[/mm]
Das [mm] f_{m,n} [/mm] heißt ja, dass f 2 Variablen hat, nämlich m und n, oder?
Und es soll eine Abbilung sein von [mm] m\IZ [/mm] auf [mm] n\IZ
[/mm]
So und jetzt versteh ich das ganze nicht mehr so wirklich, unser Prof hat gesagt, bei ihm beginnen die natürlichen Zahlen mit der Null.
D.h., angenommen m=1 und n=0 dann müssten ja alle Zahlen aus [mm] \IZ [/mm] auf der 0 abgebildet werden, und somit kann die Abbildung ja nicht Bijektiv werden, und die Aufgabe macht keinen wirklichen Sinn.
Also wo ist mein Denkfehler?
Wäre schön, wenn mir jmd weiter helfen kann.
Danke schonmal ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:51 Mo 26.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es sei für die natürliche Zahl n [mm]\in \IN[/mm] und der Menge
> [mm]\IZ[/mm] der ganzen Zahlen
> [mm]n\IZ:=\{k \in \IZ | \exists l\in\IZ : k=ln\}[/mm]
> Finden Sie
> für alle [mm]m,n\in\IN[/mm] eine Bijektion [mm]f_{m,n}:m\IZ \to n\IZ.[/mm]
> Beweisen Sie, dass die Abbildung eine Bijektion ist.
>
> Hallo erstmal.
>
> Ich sitze nun schon seit einer ganzen Zeit vor dieser
> Frage, aber wirklich weiter gekommen bin ich bis jetzt noch
> nicht.
>
> Hier mal meine bisherigen Überlegungen:
> [mm]n\IZ[/mm] ist also die Menge [mm]\IZ[/mm] multipliziert mit einer
> natürlichen Zahl also falls n=2 folgt:
> [mm]n\IZ=\{...,-4,-2,0,2,4,...\}[/mm]
Genau.
> Das [mm]f_{m,n}[/mm] heißt ja, dass f 2 Variablen hat, nämlich m
> und n, oder?
Nein: die Abbildung [mm] $f_{m,n} [/mm] : m [mm] \IZ \to [/mm] n [mm] \IZ$ [/mm] hat eine Variable, haengt allerdings von $n$ und $m$ ab: $n$ und $m$ sind sozusagen "Formparameter".
> Und es soll eine Abbilung sein von [mm]m\IZ[/mm] auf [mm]n\IZ[/mm]
Vielleicht meinst du es doch richtig  Ich wuerde es zumindest anders aufschreiben.
> So und jetzt versteh ich das ganze nicht mehr so wirklich,
> unser Prof hat gesagt, bei ihm beginnen die natürlichen
> Zahlen mit der Null.
Ah, das ist natuerlich fatal. Du hast da naemlich voellig recht:
> D.h., angenommen m=1 und n=0 dann müssten ja alle Zahlen
> aus [mm]\IZ[/mm] auf der 0 abgebildet werden, und somit kann die
> Abbildung ja nicht Bijektiv werden, und die Aufgabe macht
> keinen wirklichen Sinn.
Fuege einfach die Voraussetzung $n [mm] \neq [/mm] 0 [mm] \neq [/mm] m$ hinzu, dann stimmt die Aufgabe
Ich vermute mal, da ist dem Aufgabensteller (was nicht umbedingt der Prof sein muss) etwas entgangen...
LG Felix
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