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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 Di 07.06.2005 | | Autor: | Adele |
Hallo zusammen!
Ich sitze mal wieder an meinem Analysis I Übungsblatt und habe ein kleines Problem bei einer Aufgabe, ich kenne zwar die Defintionen der einzelnen Sachen, allerdings weiß ich nicht, wie ich das in dem Fall beweisen soll. Wäre super, wenn mir dabei jemand helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Die Aufgabe lautet:
f:[0,1] [mm] \to [/mm] [0,1] sei definiert durch
[mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{falls } x \mbox{ rational} \\ 1 - x, & \mbox{falls } x \mbox{ irrational} \end{cases}
[/mm]
Zeigen sie:
1. f ist bijektiv
2. f ist auf keinem Teilintervall von [0,1] monoton
3. f ist bei 0 unstetig
4. f ist im Punkt [mm] \bruch{1}{2} [/mm] stetig
Ich wäre echt total dankbar für jede Hilfe.
Liebe Grüße,
Adele
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Di 07.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Adele!
> Die Aufgabe lautet:
> f:[0,1] [mm]\to[/mm] [0,1] sei definiert durch
> [mm]f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{falls } x \mbox{ rational} \\ 1 - x, & \mbox{falls } x \mbox{ irrational} \end{cases}[/mm]
>
> Zeigen sie:
> 1. f ist bijektiv
Zur Injektivität:
Zu zeigen ist: Für [mm] $x_1,x_2 \in [/mm] [0,1]$ mit [mm] $x_1 \ne x_2$ [/mm] gilt: [mm] $f(x_1) \ne f(x_2)$.
[/mm]
Für [mm] $x_1,x_2 \in \IQ \cap [/mm] [0,1]$ und [mm] $x_1,x_2 \in (\IR\setminus \IQ) \cap [/mm] [0,1]$ ist dies klar (warum?). Es sei also oBdA [mm] $x_1 \in \IQ \cap [/mm] [0,1]$ und [mm] $x_2 \in (\IR \setminus \IQ) \cap [/mm] [0,1]$.
Dann folgte aus [mm] $f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2)$ [/mm] gerade: [mm] $x_1=1-x_2$, [/mm] und es wäre (da [mm] $\IQ$ [/mm] ein Körper ist und damit abgeschlossen bezüglich der Addition und additiven Inversenbildung):
[mm] $x_2 [/mm] = [mm] \underbrace{1}_{\in \IQ} [/mm] - [mm] \underbrace{x_1}_{\in \IQ} \in \IQ$,
[/mm]
Widerspruch.
Die Surjektivität wirst du wohl selber hinbekommen. Du musst zeigen: Für alle $y [mm] \in [/mm] [0,1]$ gibt es ein $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ mit $f(x)=y$. Unterscheide hierbei die Fälle $y [mm] \in [/mm] [0,1] [mm] \cap \IQ$ [/mm] und $y [mm] \in [/mm] [0,1] [mm] \cap (\IR \setminus \IQ)$.
[/mm]
> 2. f ist auf keinem Teilintervall von [0,1] monoton
In jedem Teilintervall $I$ gibt es Zahlen
[mm] $x_1
[mm] $f(x_1)=x_1 [/mm] < [mm] x_2 =f(x_2)$,
[/mm]
aber:
[mm] $f(y_1)= 1-y_1 [/mm] > [mm] 1-y_2 =f(y_2)$,
[/mm]
so dass $f$ weder monoton wachsend noch monoton steigend auf $I$ sein kann.
> 3. f ist bei 0 unstetig
Es sei [mm] $\varepsilon:=\frac{1}{2}>0$. [/mm] Dann müsste es es ein [mm] $\delta>0$ [/mm] geben, so dass für alle $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ mit [mm] $x=|x-0|<\delta$ [/mm] gilt: $f(x) = [mm] |f(x)-f(0)|<\frac{1}{2} [/mm] = [mm] \varepsilon$. [/mm] Nehmen wir also an, wir hätten ein solche [mm] $\delta$ [/mm] gefunden.
Dann gilt aber für $x [mm] \in \left[0,\min \left(\delta,\frac{1}{2}\right) \right[ \cap (\IR \setminus \IQ) \ne \emptyset$
[/mm]
$f(x) =1-x > 1 - [mm] \frac{1}{2} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] = [mm] \varepsilon$.
[/mm]
> 4. f ist im Punkt [mm]\bruch{1}{2}[/mm] stetig
Hier will ich mal einen eigenen Versuch von dir sehen.
Tipp: Beachte bitte, dass für alle $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ gilt:
[mm] $\left|f(x) - \frac{1}{2}\right| [/mm] = [mm] \left|x-\frac{1}{2}\right|$ [/mm] (warum?)
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:08 Di 07.06.2005 | | Autor: | Adele |
Danke für die schnelle Antwort, ich werde dann gleich mal gucken wie weit ich damit komme.
Danke!
Adele
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