Bijektionen, Surjektionen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 Mo 19.10.2009 | | Autor: | dsc2005 |
| Aufgabe 1 | Aufgabe 2. Zeige: Seien a und b Mengen. Wenn es eine Injektion von a in b gibt,
dann gibt es eine Surjektion von b auf a, vorausgesetzt daß a nicht leer ist. |
| Aufgabe 2 | Aufgabe 3. Zeigen Sie, daß (a) die Verkettung zweier Bijektionen eine Bijektion ist,
und folgern sie, daß (b) Gleichm¨achtigkeit transitiv ist, also: sind a und b gleichm¨achtig
und sind b und c gleichm¨achtig, dann sind a und c gleichm¨achtig. |
| Aufgabe 3 | Aufgabe 4. Zeige: Seien a und b Mengen. Gibt es sowohl eine Injektion f : a [mm] \to [/mm] b
als auch eine Injektion g : b [mm] \to [/mm] a, dann gibt es eine Bijektion zwischen a und b. |
Ich hab nun mit dem Studieren angefangen. Leider habe ich nicht den Background eines Abiturienten, da ich nur das Fachabi hab. Aber aller anfang ist schwer und ich werds schaffen...Allerdings erstmal nicht ohne Hilfe. Wenn einer mir weiter helfen kann wäre ich euch sehr dankbar. Hab dieses Forum ebend bei google gefunden und hoffe hier nett aufgenommen zu werden :)
Also, für einige ist das wohl nichts! Es wäre also schön wenn ihr mir helfen könnt.
Schon jetzt einmal ein dickes dankeschön!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi dsc2005,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
weisst du denn, was Injektivität, Surjektivität und Bijektivität bedeutet?
Unsere MatheBank hilft Dir sicher:
 injektiv
surjektiv
bijektiv
Aufgabe 2)
$\ A, B $ seien zwei Mengen.
Eine Injektion von $\ A $ nach $\ B $ bedeutet, dass eine Abbildung von $\ A $ nach $\ B $ injektiv sein soll.
$\ A [mm] \to [/mm] B $ sei also injektiv.
Dann, so entnehmen wir der Aufgabe, existiert eine Surjektion (surjektive Abbildung) von $\ B $ nach $\ A $, vorausgesetzt $\ A [mm] \not= \emptyset [/mm] $
Wie zeigen wir das nun? Bei Aufgaben dieser Art ist es sehr empfehlenswert, sich stur auf alle die Aufgabe betreffenden Definitionen zu stützen und dann zu versuchen wahre Aussagen herzuleiten.
Ich geb' dir gern eine Starthilfe:
$\ A [mm] \to [/mm] B $ ist dann injektiv, wenn für $\ [mm] x_1, x_2 \in [/mm] A $ und $\ [mm] f(x_1), f(x_2) \in [/mm] B $ gilt: $\ [mm] x_1 \not= x_2 \gdw f(x_1) \not= f(x_2) [/mm] $
D.h. zwei verschiedene Urbilder aus $\ A $ dürfen in keinem Fall gemeinsame Bilder in $\ B $ besitzen.
Wir setzen nun voraus, $\ A [mm] \to [/mm] B $ sei injektiv, dann gilt:
$\ [mm] x_1 \not= x_2 \gdw f(x_1) \not= f(x_2) [/mm] $ für alle $\ x [mm] \in [/mm] A $ und $\ f(x) [mm] \in [/mm] B $
Unter diesen Umständen gibt es, so die Aufgabe, eine surjektive Abbildung $\ B [mm] \to [/mm] A $
Surjektivität (in diesem Fall): $\ [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A \ [mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] B : x = f(y) $
Lass dich von den vertauschten $\ x, y $ nicht durcheinander bringen. Bloß haben wir oben festgelegt, dass $\ x [mm] \in [/mm] A $ und $\ y [mm] \in [/mm] B $ sein soll.
Angenommen, aus der injektivität von $\ A [mm] \to [/mm] B $ würde nicht folgen, dass die Abbildung $\ B [mm] \to [/mm] A $ surjektiv ist, dann würde das bedeuten, dass mindestens ein $\ x [mm] \in [/mm] A $ nicht auf das entsprechende$\ f(x) [mm] \in [/mm] B $ abgebildet wurde .....
... dann wäre $\ A [mm] \to [/mm] B $ aber keine Abbildung gemäß der Definition, dass jedem $\ x [mm] \in [/mm] A $ genau ein $\ f(x) [mm] \in [/mm] B $ zugeordnet wird. Somit müssen wir unsere Annahme fallen lassen, wenn wir wollen, dass $\ A [mm] \to [/mm] B $ eine Abbildung ist. Und das wollen wir 
Die anderen Aufgaben sind etwas komplexer in ihrer Form, aber nach dem selbem Schema in etwa zu lösen, wie die erste Aufgabe.
Schaue Dir in Ruhe die verschiedenen Definitionen an und versuche aus allen Definitionen, die in der Aufgabe von Nutzen sein können, wahre oder falsche Aussagen (je nach Vorhaben) zu gewinnen.
Meld dich, wenn etwas unklar ist
Viele Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:41 Di 20.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Hallo ChopSuey,
wo ist denn nun die Surjektion $B [mm] \to [/mm] A$ ?
Du hast nichts angegeben, Existenz, Funktionsvorschrift ? Wo ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:50 Di 20.10.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Fred,
reicht es nicht aus, zu zeigen, dass aus einer Injektion $\ A [mm] \to [/mm] B $ zwangsläufig eine Surjektion von $\ B [mm] \to [/mm] A $ folgen muss, weil $\ A [mm] \to [/mm] B$ sonst keine Abbildung nach Definition ist?
Oder meinst du, dass ich noch dazu sagen muss, dass folglich eine Surjektion existiert mit $\ B [mm] \to [/mm] A : y [mm] \to [/mm] f(y) $ ?
Ich sehe noch nicht, was fehlt/falsch ist. Lasse mich aber natürlich gerne Aufklären und/oder Berichtigen.
Viele Grüße
ChopSuey
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> Hallo Fred,
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> reicht es nicht aus, zu zeigen, dass aus einer Injektion [mm]\ A \to B[/mm]
> zwangsläufig eine Surjektion von [mm]\ B \to A[/mm] folgen muss,
Hallo,
die "Zwangsläufigkeit" und das "Folgen" hast Du aber nicht gut kommuniziert bisher...
Was machst Du, wenn ich behaupte, daß mein schlauer Kater sprechen kann?
Du willst das sehen und hören.
Ich lasse Dich ins Haus, und schon unten im Flur hörst Du aus der Küche ein klägliches: "Bitte Lachs.Schnell!"
Ich sage:"Siehste!" Bzw.:"Da hörst du's!" - und will Dich gleich wieder fortschicken, weil die Küche mal wieder nicht aufgeräumt ist.
Du aber kommst in die Küche um nachzusehen, ob es wirklich mein kluger Kater ist, der da spricht - und nicht etwa mein erwachsener Sohn.
Also:
die Existenz solch einer Abbildung zeigt man, indem man die Abbildung offen vorzeigt, also ihre Definition präsentiert.
Danach ist dann der präsentierten Abbildung auf den Zahn zu fühlen (ggf. Wohldefiniertheit), hier ist natürlich die Surjektivität zu prüfen.
(Es ist übrigens auch die Benennung der Abbildung von [mm] B\to [/mm] A mit f verkehrt, denn f bildet ja nach Voraussetzung von [mm] B\to [/mm] A ab. Für die neue Abbildung braucht's einen neuen Buchstaben.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:21 Di 20.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Hallo ChopSuey,
Angela hat es mit ihrem Kater wunderbar auf den Punkt gebracht !
Im übrigen sind Deine argumente in
https://matheraum.de/read?i=601639
etwas wirr und nun wirklich nicht nachvollziehbar.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:36 Di 20.10.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Angela & Fred,
verstehe, dann entschuldigt die Verwirrung, die ich womöglich verursacht hab 
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Di 20.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu Aufgabe 1: $f:A [mm] \to [/mm] B$ ist injektiv
Zu zeigen: es gibt eine Surjektion $g:B [mm] \to [/mm] A$
Ist $f(A) =B$, so leistet $g:= [mm] f^{-1}$ [/mm] das Gewünschte.
Nun sei f(A) eine echte Teilmenge von B. Sei [mm] x_0 [/mm] in A (fest). Definiere $g:B [mm] \to [/mm] A$ wie folgt:
Ist y [mm] \notin [/mm] f(A), so setze g(y) = [mm] x_0
[/mm]
Ist y [mm] \in [/mm] f(A) , so existiert genau ein x [mm] \in [/mm] A mit f(x) =y (f ist injektiv !).
Setze nun g(y) = x.
Damit ist g wohldefiniert und surjektiv.
FRED
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