Bijektion zeigen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:49 Mo 25.01.2010 | | Autor: | nooschi |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Es gibt eine Bijektion von R auf die Menge aller stetigen Funktionen von R nach R (Hinweis: Wenn $f: [mm] R\rightarrow [/mm] R$ und $g: [mm] R\rightarrow [/mm] R$ stetig sind mit [mm] $f|_{Q}=g|_Q$, [/mm] dann ist $f=g$) |
also erstmal: ich hoffe ich bin hier im richtigen Forenteil :P
was ich weiss:
wenn man zeigen kann, dass die Injektionen $ [mm] \IR \rightarrow C(\IR, \IR)$ [/mm] und $ [mm] C(\IR, \IR) \rightarrow \IR$ [/mm] existieren, dann existiert auch eine Bijektion. [mm] ($C(\IR, \IR)$ [/mm] bezeichnet alle stetigen Funktionen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR)
[/mm]
$ [mm] \IR \rightarrow C(\IR, \IR)$ [/mm] das ist einfach:
$ x [mm] \mapsto [/mm] f(x)=x$
mein Problem liegt bei der Injektion $ [mm] C(\IR, \IR) \rightarrow \IR$
[/mm]
ich nehme an, das ist so ein Moment, wo man sich die Hinweise anschauen soll ;) Aus dem Hinweis schliesse ich, dass ich auch nur eine Injektion $ [mm] C(\IQ, \IQ) \rightarrow \IR$ [/mm] suchen darf, denn es existiert ja sozusagen eine Bijektion zwischen [mm] $C(\IQ, \IQ)$ [/mm] und [mm] $C(\IR, \IR)$. [/mm] Und jetzt??
Wäre froh um jede Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:19 Mo 25.01.2010 | | Autor: | pelzig |
> wenn man zeigen kann, dass die Injektionen [mm]\IR \rightarrow C(\IR, \IR)[/mm]
> und [mm]C(\IR, \IR) \rightarrow \IR[/mm] existieren, dann existiert
> auch eine Bijektion.
Richtig. Wobei der Satz nicht ganz trivial ist, aber ohne den wird es glaub ich schwierig die Behauptung zu zeigen.
> mein Problem liegt bei der Injektion [mm]C(\IR, \IR) \rightarrow \IR[/mm]
> ich nehme an, das ist so ein Moment, wo man sich die
> Hinweise anschauen soll ;)
Gute Idee.
> Aus dem Hinweis schliesse ich,
> dass ich auch nur eine Injektion [mm]C(\IQ, \IQ) \rightarrow \IR[/mm]
> suchen darf, denn es existiert ja sozusagen eine Bijektion
> zwischen [mm]C(\IQ, \IQ)[/mm] und [mm]C(\IR, \IR)[/mm].
Naja, es gibt erstmal nur eine kanonische Injektion [mm] $\alpha:C(\IR,\IR)\ni f\mapsto f|_\IQ\in C(\IQ,\IR)$, [/mm] die ist aber nicht surjektiv.
... so jetzt habe ich an dieser Stelle 20minuten gegrübelt und weiß auch nicht weiter, lasse die bisherige Antwort aber trotzdem mal stehen. Vielleicht fällt mir im Laufe des Tages noch was ein.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Mo 25.01.2010 | | Autor: | nooschi |
> > wenn man zeigen kann, dass die Injektionen [mm]\IR \rightarrow C(\IR, \IR)[/mm]
> > und [mm]C(\IR, \IR) \rightarrow \IR[/mm] existieren, dann existiert
> > auch eine Bijektion.
> Richtig. Wobei der Satz nicht ganz trivial ist, aber ohne
> den wird es glaub ich schwierig die Behauptung zu zeigen.
wir haben den Satz in der VL bewiesen, ich kann ihn also verwenden
> > mein Problem liegt bei der Injektion [mm]C(\IR, \IR) \rightarrow \IR[/mm]
>
> > ich nehme an, das ist so ein Moment, wo man sich die
> > Hinweise anschauen soll ;)
> Gute Idee.
>
> > Aus dem Hinweis schliesse ich,
> > dass ich auch nur eine Injektion [mm]C(\IQ, \IQ) \rightarrow \IR[/mm]
> > suchen darf, denn es existiert ja sozusagen eine Bijektion
> > zwischen [mm]C(\IQ, \IQ)[/mm] und [mm]C(\IR, \IR)[/mm].
> Naja, es gibt
> erstmal nur eine kanonische Injektion [mm]\alpha:C(\IR,\IR)\ni f\mapsto f|_\IQ\in C(\IQ,\IR)[/mm],
> die ist aber nicht surjektiv.
Also mit der Bijektion habe ich mir das so überlegt gehabt (ich geb dir aber natürlich Recht, dass es [mm] $C(\IQ, \IR)$ [/mm] heissen müsste):
es gibt wieder je eine Injektion in beide Richtungen:
[mm] $$\alpha: C(\IR, \IR) \rightarrow C(\IQ, \IR)$$ [/mm] $$f [mm] \mapsto f|_{\IQ}$$ [/mm] das muss stimmen, da [mm] f|_{\IQ}=g|_{\IQ} \Rightarrow f=g [/mm] bzw. [mm] f\not= g \Rightarrow f|_{\IQ}\not= g|_{\IQ} [/mm], es ist also [mm] f\not= g \Rightarrow \alpha(f)\not= \alpha(g) [/mm] [mm] $$C(\IQ, \IR) \rightarrow C(\IR, \IR)$$ [/mm] $$g [mm] \mapsto g^{\*}$$ [/mm] wobei [mm] $g^{\*}(x)=\begin{cases} g(x), & \mbox{für } x\in\IQ \\ \limes_{y\rightarrow x}g(x), & \mbox{für } x\in\IR\setminus\IQ \end{cases}$
[/mm]
hach jetzt seh ichs auch... die stetige Fortsetzung muss es in [mm] $x\in\IR\setminus\IQ$ [/mm] gar nicht geben, oder? Denn [mm] $C(\IQ, \IR)$ [/mm] muss ja nur in [mm] \IQ [/mm] stetig sein.
Naja, egal, ich wüsste auch nicht weiter, wenns die Bijektion gäbe...
> ... so jetzt habe ich an dieser Stelle 20minuten
> gegrübelt
danke!!
> und weiß auch nicht weiter, lasse die bisherige
> Antwort aber trotzdem mal stehen. Vielleicht fällt mir im
> Laufe des Tages noch was ein.
>
> Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Mo 25.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> Also mit der Bijektion habe ich mir das so überlegt gehabt
> (ich geb dir aber natürlich Recht, dass es [mm]C(\IQ, \IR)[/mm]
> heissen müsste):
> es gibt wieder je eine Injektion in beide Richtungen:
> [mm]\alpha: C(\IR, \IR) \rightarrow C(\IQ, \IR)[/mm] [mm]f \mapsto f|_{\IQ}[/mm]
> das muss stimmen, da [mm]f|_{\IQ}=g|_{\IQ} \Rightarrow f=g[/mm] bzw.
Ja, das ist injektiv. Aber viel interessanter ist die Abbildung gleich in die Menge aller Abbildungen abzubilden, also [m]\alpha: C(\IR, \IR) \to Abb(\IQ,\IR)\cong Abb(\IN,\IR)[/m]. Jetzt musst du [m]Abb(\IN,\IR)\cong \IR[/m] zeigen, wobei dies eben das abzählbare Produkt von [m]\IR[/m] ist. Da [m]\IR\cong (0,1)[/m] kann man wohl direkt etwas mit der Dezimaldarstellung machen (für jede natürliche Zahl n lege ich eine Primzahl p fest, so dass für jede Abbildung a in der Reihendarstellung die Koeffizienmmten von [m]10^{-p^k},k\in \IN[/m] mir die reelle Zahl [m]a(n)[/m] geben. Die Periode 9 kann dabei nicht vorkommen, da die anderen Ziffern auf 3 gesetzt werden. Damit habe ich eine injektive Abbildung von [m]Abb(\IN,(0,1))[/m] nach [m](0,1)[/m] gefunden.), oder habt ihr schon andere Sätze gezeigt? Im Wesentlichen ist hier [m]Abb(\IQ,\IR)\cong \IR[/m] wichtig!
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Mo 25.01.2010 | | Autor: | nooschi |
Also ich habs noch nicht ganz verstanden:
> Ja, das ist injektiv. Aber viel interessanter ist die
> Abbildung gleich in die Menge aller Abbildungen abzubilden,
> also [m]\alpha: C(\IR, \IR) \to Abb(\IQ,\IR)\cong Abb(\IN,\IR)[/m].
> Jetzt musst du [m]Abb(\IN,\IR)\cong \IR[/m] zeigen, wobei dies
> eben das abzählbare Produkt von [m]\IR[/m] ist. Da [m]\IR\cong (0,1)[/m]
> kann man wohl direkt etwas mit der Dezimaldarstellung
> machen
bis hier klar.
> (für jede natürliche Zahl n lege ich eine Primzahl
> p fest, so dass für jede Abbildung a in der
> Reihendarstellung die Koeffizienmmten von [m]10^{-p^k},k\in \IN[/m]
> mir die reelle Zahl [m]a(n)[/m] geben.
was ist die Reihendarstellung einer Abbildung? und warum dann [mm] p^k, [/mm] warum überhaupt k? warum ist dann das a(n) "einzigartig" sodass das ganze auch wirklich Injektiv ist?
> Die Periode 9 kann dabei
> nicht vorkommen, da die anderen Ziffern auf 3 gesetzt
> werden. Damit habe ich eine injektive Abbildung von
> [m]Abb(\IN,(0,1))[/m] nach [m](0,1)[/m] gefunden.)
ich nehme an, das würde ich verstehen, wenn ich das vorherige verstehen würde :P
> oder habt ihr schon andere Sätze gezeigt?
Also solche Sachen wie [mm] $\IN\cong\IQ$ [/mm] und [mm] $\IR\cong [/mm] (0,1)$ haben wir schon gezeigt, aber nichts mit Abbildungen.
> Im Wesentlichen ist hier
> [m]Abb(\IQ,\IR)\cong \IR[/m] wichtig!
>
> SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Mo 25.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> > (für jede natürliche Zahl n lege ich eine Primzahl
> > p fest, so dass für jede Abbildung a in der
> > Reihendarstellung die Koeffizienmmten von [m]10^{-p^k},k\in \IN[/m]
> > mir die reelle Zahl [m]a(n)[/m] geben.
>
> was ist die Reihendarstellung einer Abbildung?
Ich meinte die Dezimaldarstellung einer Zahl - also [m]0,a_1a_2a_3\ldtos[/m], dh [m]\sum_{i> 0} a_i*10^{-i}[/m]. Ich habe abzählbar viele relle Zahlen für eine Abbildung a, nämlich [m]a(1),a(2),\ldtos[/m] - die möchte ich in eine Zahl packen, so dass ich die Abbildung daraus rekonstruieren kann. Jetzt kodiere ich [m]a(1)[/m], in dem ich die Koefizienten der Dezimaldarstellung von [m]a(1)[/m] als Koefizienten der [m]10^{-2^k}[/m] nheme, wobei der k-te von [m]a(1)[/m] zum [m]10^{-2^k}[/m]-ten der Zahl wird. Bei [m]a(2)[/m] mache ich das mit der 3er Potenz, usw usf.
> und warum
> dann [mm]p^k,[/mm] warum überhaupt k?
Ich brauche abzählbar unendlich oft abzählbar viele Koefizienten - das kann ich dadurch codieren.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:47 Mo 25.01.2010 | | Autor: | nooschi |
hey, die Idee ist ja mal gut! dankeschön, habs verstanden ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:01 Mo 25.01.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
> [mm]\IR \rightarrow C(\IR, \IR)[/mm] das ist einfach:
> [mm]x \mapsto f(x)=x[/mm]
Das meinst du so nicht, dann wäre f die Identität. Vermutlich ist
x [mm] \mapsto [/mm] f(x) =: [mm] f_x [/mm] mit [mm] f_x(t) [/mm] = x
gemeint, dann ist f(x) die konstante Abbildung auf x.
Über das wirkliche Problem müßte ich auch noch mal nachdenken.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 Mo 25.01.2010 | | Autor: | nooschi |
jo, stimmt natürlich, danke ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:33 Mo 25.01.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
noch ein Hinweis:
> Aus dem Hinweis schliesse ich,
> dass ich auch nur eine Injektion [mm]C(\IQ, \IQ) \rightarrow \IR[/mm]
> suchen darf, denn es existiert ja sozusagen eine Bijektion
> zwischen [mm]C(\IQ, \IQ)[/mm] und [mm]C(\IR, \IR)[/mm]. Und jetzt??
Ob wirklich eine Bijektion existiert, da wär ich vorsichtig mit.....
Dass [mm] $C(\IR,\IR) \subset C(\IQ,\IQ)$ [/mm] gilt, stimmt.
Die Umkehrung gilt nicht (d.h. es gibt auf [mm] \IQ [/mm] stetige Funktionen, die es auf [mm] \IR [/mm] nicht sind), obs trotzdem eine Bijektion gibt, könnte ich aus dem Stehgreif nicht begründen..... du? Oder jemand anderes? (Intuitiv würde ich sagen, es gibt keine, aber was ist Inuition schon in der Mathematik^^)
Wenn ja, würde mich das mal interessieren 
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:46 Mo 25.01.2010 | | Autor: | nooschi |
> Hiho,
>
> noch ein Hinweis:
> > Aus dem Hinweis schliesse ich,
> > dass ich auch nur eine Injektion [mm]C(\IQ, \IQ) \rightarrow \IR[/mm]
> > suchen darf, denn es existiert ja sozusagen eine Bijektion
> > zwischen [mm]C(\IQ, \IQ)[/mm] und [mm]C(\IR, \IR)[/mm]. Und jetzt??
>
> Ob wirklich eine Bijektion existiert, da wär ich
> vorsichtig mit.....
> Dass [mm]C(\IR,\IR) \subset C(\IQ,\IQ)[/mm] gilt, stimmt.
> Die Umkehrung gilt nicht (d.h. es gibt auf [mm]\IQ[/mm] stetige
> Funktionen, die es auf [mm]\IR[/mm] nicht sind), obs trotzdem eine
> Bijektion gibt, könnte ich aus dem Stehgreif nicht
> begründen..... du?
nein, eben doch nicht, wie ich hier geschrieben habe 
> Oder jemand anderes? (Intuitiv würde
> ich sagen, es gibt keine, aber was ist Inuition schon in
> der Mathematik^^)
> Wenn ja, würde mich das mal interessieren
>
> MFG,
> Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:06 Mo 25.01.2010 | | Autor: | pelzig |
> nein, eben doch nicht, wie ich hier geschrieben habe
Falsch, es gibt halt schon eine Bijektion von [mm] $C(\IR,\IR)$ [/mm] auf [mm] $C(\IQ,\IR)$, [/mm] das zeigt ja gerade der Beweis. Aber sie ist eben nicht kanonisch gegeben durch sowas wie [mm] $f\mapsto f|_\IQ$ [/mm] (du hast in deinem Post nur nochmal begründet warum diese Abbildung nicht surjektiv ist) sondern existiert nur mengentheoretisch - irgend ne hässliche ekelhafte Abbildung eben.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:17 Mo 25.01.2010 | | Autor: | nooschi |
> > nein, eben doch nicht, wie ich
> hier geschrieben habe
>
> Falsch, es gibt halt schon eine Bijektion von [mm]C(\IR,\IR)[/mm]
> auf [mm]C(\IQ,\IR)[/mm], das zeigt ja gerade der Beweis. Aber sie
> ist eben nicht kanonisch gegeben durch sowas wie [mm]f\mapsto f|_\IQ[/mm]
> (du hast in deinem Post nur nochmal begründet warum diese
> Abbildung nicht surjektiv ist) sondern existiert nur
> mengentheoretisch - irgend ne hässliche ekelhafte
> Abbildung eben.
>
> Gruß, Robert
mein nein hat sich auf die Frage bezogen ob ichs beweisen kann, dass die Bijektion existiert. Es ist mir natürlich schon bewusst, dass ich mit meinem gekraxel weder gezeigt habe, dass eine Bijektion existiern, noch dass keine existiert :P
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Mo 25.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> also erstmal: ich hoffe ich bin hier im richtigen
> Forenteil :P
Ja, sicher, wenn man die Aussagen über stetige Funktionen vorraussetzen kann, ansosnten ist noch ein Analysis Offspin drin, vor allem bei den Beweisen imo.
> Wäre froh um jede Hilfe!
Ich habe eine imo Komplettlösung unter die andre Frage gepostet. Hilft's?
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Mo 25.01.2010 | | Autor: | gfm |
Hallo!
Alle konstanten Funktionen kann man als Injektion von [mm] \IR [/mm] in [mm] C(\IR,\IR) [/mm] auffassen, daher ist die Mächtikeit von [mm] C(\IR,\IR) [/mm] größer gleich der von [mm] \IR.
[/mm]
Die Einschränkung der [mm] C(\IR,\IR)-Funktionen [/mm] auf [mm] \IQ [/mm] ist eine Injektion in [mm] \IR^{\IN}, [/mm] da jedes Element von [mm] C(\IR,\IR) [/mm] durch seine Werte auf [mm] \IQ [/mm] eindeutig bestimmt ist. Daraus folgt, dass die Mächtigkeit von [mm] C(\IR,\IR) [/mm] kleiner gleich der von [mm] \IR [/mm] ist, da der Folgenraum [mm] \IR^{\IN} [/mm] die gleiche Mächtigkeit wie [mm] \IR [/mm] hat.
Demzufolge müssen die Mächtigkeiten gleich sein, woraus die Existenz der Bijektion folgt.
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:43 Mo 25.01.2010 | | Autor: | nooschi |
> Hallo!
>
> Alle konstanten Funktionen kann man als Injektion von [mm]\IR[/mm]
> in [mm]C(\IR,\IR)[/mm] auffassen, daher ist die Mächtikeit von
> [mm]C(\IR,\IR)[/mm] größer gleich der von [mm]\IR.[/mm]
>
> Die Einschränkung der [mm]C(\IR,\IR)-Funktionen[/mm] auf [mm]\IQ[/mm] ist
> eine Injektion in [mm]\IR^{\IN},[/mm] da jedes Element von
> [mm]C(\IR,\IR)[/mm] durch seine Werte auf [mm]\IQ[/mm] eindeutig bestimmt
> ist.
Hää? Also aus dem folgt doch, dass es eine Injektion [mm] $C(\IR,\IR)\to C(\IQ,\IR)$ [/mm] gibt. Und da [mm] \IQ\cong\IN, [/mm] gibts ne Injektion [mm] $C(\IQ,\IR)\to C(\IN,\IR)$.
[/mm]
Ah, jetzt hab ich gerade aus meinem völlig unübersichtlichen Skript das gefunden: [m]Abb(\IN, A)\cong A^{\IN}[/m]. (A beliebige Menge)
ok, aus dem folgt: [mm] $C(\IN,\IR)\subset Abb(\IN,\IR)\cong \IR^{\IN}$
[/mm]
> Daraus folgt, dass die Mächtigkeit von [mm]C(\IR,\IR)[/mm]
> kleiner gleich der von [mm]\IR[/mm] ist, da der Folgenraum [mm]\IR^{\IN}[/mm]
> die gleiche Mächtigkeit wie [mm]\IR[/mm] hat.
das müsste man wohl wissen, ich weiss es nicht, deshalb mein Beweisversuch:
Injektion [mm] \IR\to\IR^{\IN} $$x\mapsto [/mm] <x,0,0,0,.....>$$ Injektion [mm] \IR^{\IN}\to\IR
[/mm]
sieht für mich verlockend nach Primzahlen aus... muss ich mir noch überlegen
> Demzufolge müssen die Mächtigkeiten gleich sein, woraus
> die Existenz der Bijektion folgt.
>
> LG
>
> gfm
>
>
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