Bijektion < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei $M$ eine Menge und sei [mm] $\{0,1\}^M$ [/mm] die Menge aller Abbildungen mit Definitionsbereich $M$ und Wertebereich [mm] $\{0,1}\$.
[/mm]
Beweisen Sie, dass die beiden Abbildungen
[mm] \Phi:\mathcal{P}(M)\to\{0,1\}^{M}
[/mm]
und
[mm] \Psi:\{0,1\}^M\to\mathcal{P}(M)
[/mm]
zueinander inverse Bijektionen definieren, wobei
[mm] $\Phi(A)(m):=\begin{cases} 1,\text{falls} m\in A\\ 0,\text{falls} m\notin A\end{cases}$
[/mm]
[mm] $\Psi(f):=\{m\in M|f(m)=1\}$. [/mm] |
Hallo,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
[mm] $\Psi$ [/mm] bildet eine Funktion mit dem Wertebereich [mm] $\{0,1\}$ [/mm] und dem Definitionsbereich $M$ auf die Potenzmenge von $M$ ab.
Wähle ich nun eine Funktion [mm] $f:M\to\{0,1}\$, [/mm] dann besteht [mm] $\Psi(f)$ [/mm] aus allen $m$, für die $f(m)=1$ gilt.
Nun verwirrt mich etwas die Schreibweise [mm] $\Phi(A)(m)$.
[/mm]
Es ist ja unklar, was die Menge $A$ ist. Das sollte aber auch irrelevant sein. Wobei [mm] $A\in\mathcal{P}(M)$ [/mm] gilt. [mm] $\Phi$ [/mm] ist also im Grunde von der Menge $A$ abhängig, genau wie [mm] $\Psi$ [/mm] von der Funktion $f$ abhängt. Die können ja jeweils unterschiedlich sein.
Wenn ich nun etwa zeigen möchte, dass
[mm] $\Psi\circ\Phi=id$, [/mm] dann
[mm] $\Psi(\Phi(A)(m))$ [/mm] ist [mm] $m\in [/mm] A$, muss nun [mm] $\Psi(1)=m$ [/mm] sein?
Denn sonst hätte ich ja nicht die Identität...
Und was soll die "1" nun auch bedeuten?
[mm] $\Psi$ [/mm] wertet ja Funktionen aus, welche auf die 1 abbilden.
Bzw. gilt f(m)=1
Mir ist zwar schon klar, was ich eigentlich zu tun habe, aber wo die Aufgabe hin will, dass ist mir irgendwie nicht so klar. Oder ich hänge nun an diesem Schritt.
Ich habe versucht mir ein Beispiel zu machen.
Wenn [mm] $M=\{0,1\}$. [/mm] Dann ist [mm] $\mathcal{P}(M)=\{\emptyset,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}$.
[/mm]
Und $A$ ist nun irgendein Element aus dieser Potenzmenge. Zum Beispiel [mm] $A=\{0\}$
[/mm]
Dann ist [mm] $\Phi(\{0\})(0)=1$ [/mm] und [mm] $\Phi(\{0\})(1)=0$
[/mm]
Bilde ich die Menge aller Funktion mit Definitionsbereich $M$ und Wertebereich [mm] $\{0,1\}$, [/mm] dann sollte ich vier Funktionen erhalten, für die gilt:
[mm] $f_1(0)=0$ [/mm]
[mm] $f_1(1)=0$
[/mm]
und
[mm] $f_2(0)=0$
[/mm]
[mm] $f_2(1)=1$
[/mm]
und
[mm] $f_3(0)=1$
[/mm]
[mm] $f_3(1)=0$
[/mm]
und
[mm] $f_4(0)=1$
[/mm]
[mm] $f_4(1)=1$
[/mm]
Dann wäre
[mm] $\Psi(f_1)=\emptyset$
[/mm]
[mm] $\Psi(f_2)=\{1\}$
[/mm]
[mm] $\Psi(f_3)=\{0\}$
[/mm]
[mm] $\Psi(f_4)=\{0,1\}$
[/mm]
Um jetzt dem Beispiel mit [mm] $A=\{0\}$ [/mm] zu folgen, dann ist
[mm] $\Psi(\Phi(\{0\})(0))=\Psi(1)$
[/mm]
und
[mm] $\Psi(\Phi(\{0\})(1))=\Psi(0)$
[/mm]
aber auch mit diesem Beispiel weiß ich nicht, wie es hier nun weitergeht...
Was bringen mir nun die Abbildungen [mm] $f_1, f_2, f_3$ [/mm] und [mm] $f_4$
[/mm]
Ich hoffe natürlich, dass ich nicht irgendwo bereits einen Fehler habe.
Über einen Schupser würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank im voraus.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 Mi 19.08.2015 | | Autor: | hippias |
> Sei [mm]M[/mm] eine Menge und sei [mm]\{0,1\}^M[/mm] die Menge aller
> Abbildungen mit Definitionsbereich [mm]M[/mm] und Wertebereich
> [mm]\{0,1}\[/mm].
> Beweisen Sie, dass die beiden Abbildungen
>
> [mm]\Phi:\mathcal{P}(M)\to\{0,1\}^{M}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\Psi:\{0,1\}^M\to\mathcal{P}(M)[/mm]
>
> zueinander inverse Bijektionen definieren, wobei
>
> [mm]\Phi(A)(m):=\begin{cases} 1,\text{falls} m\in A\\ 0,\text{falls} m\notin A\end{cases}[/mm]
>
> [mm]\Psi(f):=\{m\in M|f(m)=1\}[/mm].
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
>
> [mm]\Psi[/mm] bildet eine Funktion mit dem Wertebereich [mm]\{0,1\}[/mm] und
> dem Definitionsbereich [mm]M[/mm] auf die Potenzmenge von [mm]M[/mm] ab.
> Wähle ich nun eine Funktion [mm]f:M\to\{0,1}\[/mm],
Nein, es muesste [mm] $f:\{0,1\}\to [/mm] M$ sein
> dann besteht
> [mm]\Psi(f)[/mm] aus allen [mm]m[/mm], für die [mm]f(m)=1[/mm] gilt.
>
Ja.
> Nun verwirrt mich etwas die Schreibweise [mm]\Phi(A)(m)[/mm].
Nur zur Verdeutlichung: [mm] $\Phi(A)$ [/mm] ist eine Funktion; nennen wir sie $a$. Dann bedeutet [mm] $\Phi(A)(m)$ [/mm] das gleiche wie $a(m)$, den Funktionswert an der Stelle $m$.
> Es ist ja unklar, was die Menge [mm]A[/mm] ist. Das sollte aber
> auch irrelevant sein. Wobei [mm]A\in\mathcal{P}(M)[/mm] gilt. [mm]\Phi[/mm]
> ist also im Grunde von der Menge [mm]A[/mm] abhängig, genau wie
> [mm]\Psi[/mm] von der Funktion [mm]f[/mm] abhängt. Die können ja jeweils
> unterschiedlich sein.
>
> Wenn ich nun etwa zeigen möchte, dass
>
> [mm]\Psi\circ\Phi=id[/mm], dann
>
> [mm]\Psi(\Phi(A)(m))[/mm] ist [mm]m\in A[/mm], muss nun [mm]\Psi(1)=m[/mm] sein?
Ja, das $m$ hat hier nichts zu suchen: [mm] $\Psi$ [/mm] ist auf Fuktionen definiert, aber [mm] $\Phi(A)(m)$ [/mm] ist ein Funktionswert. Die Verwirrung laesst sich vermutlich mindern, wenn Du Dir klarmachst, welche Identitaet hier eigentlich gemeint ist. Nach Definition ist [mm] $\Phi:\mathcal{P}(M)\to \{0,1\}^{M}$ [/mm] und [mm] $\Psi:\{0,1\}^{M}\to \mathcal{P}(M)$. [/mm] Daher ist [mm] $\Psi\circ\Phi:\mathcal{P}(M)\to \mathcal{P}(M)$.
[/mm]
Es ist also zu zeigen, dass [mm] $\Psi(\Phi(A))= [/mm] A$ gilt, also eine Mengengleichheit, die Du wie immer mittels zweier Inklusionen nachweisen kannst.
Ich schaetze, dass dies bereits als der nachgefragte Schupser ausreicht, sonst frage einfach nocheinmal.
> Denn sonst hätte ich ja nicht die Identität...
> Und was soll die "1" nun auch bedeuten?
> [mm]\Psi[/mm] wertet ja Funktionen aus, welche auf die 1 abbilden.
> Bzw. gilt f(m)=1
>
> Mir ist zwar schon klar, was ich eigentlich zu tun habe,
> aber wo die Aufgabe hin will, dass ist mir irgendwie nicht
> so klar. Oder ich hänge nun an diesem Schritt.
>
> Ich habe versucht mir ein Beispiel zu machen.
>
> Wenn [mm]M=\{0,1\}[/mm]. Dann ist
> [mm]\mathcal{P}(M)=\{\emptyset,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}[/mm].
> Und [mm]A[/mm] ist nun irgendein Element aus dieser Potenzmenge.
> Zum Beispiel [mm]A=\{0\}[/mm]
>
> Dann ist [mm]\Phi(\{0\})(0)=1[/mm] und [mm]\Phi(\{0\})(1)=0[/mm]
>
> Bilde ich die Menge aller Funktion mit Definitionsbereich [mm]M[/mm]
> und Wertebereich [mm]\{0,1\}[/mm], dann sollte ich vier Funktionen
> erhalten, für die gilt:
>
> [mm]f_1(0)=0[/mm]
> [mm]f_1(1)=0[/mm]
>
> und
>
> [mm]f_2(0)=0[/mm]
> [mm]f_2(1)=1[/mm]
>
> und
>
> [mm]f_3(0)=1[/mm]
> [mm]f_3(1)=0[/mm]
>
> und
>
> [mm]f_4(0)=1[/mm]
> [mm]f_4(1)=1[/mm]
>
> Dann wäre
>
> [mm]\Psi(f_1)=\emptyset[/mm]
>
> [mm]\Psi(f_2)=\{1\}[/mm]
>
> [mm]\Psi(f_3)=\{0\}[/mm]
>
> [mm]\Psi(f_4)=\{0,1\}[/mm]
>
> Um jetzt dem Beispiel mit [mm]A=\{0\}[/mm] zu folgen, dann ist
>
> [mm]\Psi(\Phi(\{0\})(0))=\Psi(1)[/mm]
>
> und
>
> [mm]\Psi(\Phi(\{0\})(1))=\Psi(0)[/mm]
>
> aber auch mit diesem Beispiel weiß ich nicht, wie es hier
> nun weitergeht...
> Was bringen mir nun die Abbildungen [mm]f_1, f_2, f_3[/mm] und [mm]f_4[/mm]
>
> Ich hoffe natürlich, dass ich nicht irgendwo bereits einen
> Fehler habe.
>
> Über einen Schupser würde ich mich sehr freuen.
> Vielen Dank im voraus.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:16 Do 20.08.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
> > Wähle ich nun eine Funktion [mm]f:M\to\{0,1}\[/mm],
> Nein, es muesste [mm]f:\{0,1\}\to M[/mm] sein
Es soll [mm] $f\in\{0,1\}^M$ [/mm] sein, also muss es [mm] $f\colon M\to\{0,1\}$ [/mm] heißen.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:27 Do 20.08.2015 | | Autor: | hippias |
Richtig. Gestern wusste ich noch, weshalb ich es fuer einen Fehler gehalten hatte.
|
|
|
| |
|
> Es ist also zu zeigen, dass $ [mm] \Psi(\Phi(A))= [/mm] A $ gilt, also eine Mengengleichheit, die Du wie immer mittels zweier Inklusionen nachweisen kannst.
Ja, damit ist es dann denke ich recht einfach...
Sei [mm] $m\in [/mm] A$, dann ist [mm] $\Phi(A)=1$, [/mm] also [mm] $m\in\Psi(\Phi(A))$, [/mm] da [mm] $\Psi(\Phi(A))=\{m\in M|\Phi(A)=1\}$.
[/mm]
Die Rückrichtung funktioniert analog.
Sei [mm] $m\in\Psi(\Phi(A))$, [/mm] dann gilt [mm] $\Phi(A)=1$, [/mm] also ist [mm] $m\in [/mm] A$.
Die andere Verkettung
[mm] $\Phi(A)\circ\Psi:\{0,1\}^M\to\{0,1\}^M$
[/mm]
bildet also eine Funktion, auf eine Funktion ab.
Muss ich hier nun
[mm] $\Phi(A)(\Psi(f(m)))=f(m)$
[/mm]
zeigen?
Dabei könnte f(m) ja nur die Werte 0 oder 1 annehmen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:24 Fr 21.08.2015 | | Autor: | fred97 |
> > Es ist also zu zeigen, dass [mm]\Psi(\Phi(A))= A[/mm] gilt, also
> eine Mengengleichheit, die Du wie immer mittels zweier
> Inklusionen nachweisen kannst.
>
> Ja, damit ist es dann denke ich recht einfach...
>
> Sei [mm]m\in A[/mm], dann ist [mm]\Phi(A)=1[/mm], also [mm]m\in\Psi(\Phi(A))[/mm], da
> [mm]\Psi(\Phi(A))=\{m\in M|\Phi(A)=1\}[/mm].
Nein ! Du hast die Abbildung [mm] \PHi [/mm] nicht verstanden. Für eine Teilmenge A von M ist [mm] \Phi(A) [/mm] eine Abbildung mit Def.-Bereich M und Wertebereich [mm] \{0,1\}.
[/mm]
Es ist [mm] \Phi(A)(m)=1, [/mm] falls m [mm] \in [/mm] A und [mm] \Phi(A)(m)=0, [/mm] falls m [mm] \notin [/mm] A
>
> Die Rückrichtung funktioniert analog.
>
> Sei [mm]m\in\Psi(\Phi(A))[/mm], dann gilt [mm]\Phi(A)=1[/mm], also ist [mm]m\in A[/mm].
>
> Die andere Verkettung
>
> [mm]\Phi(A)\circ\Psi:\{0,1\}^M\to\{0,1\}^M[/mm]
>
> bildet also eine Funktion, auf eine Funktion ab.
>
> Muss ich hier nun
>
> [mm]\Phi(A)(\Psi(f(m)))=f(m)[/mm]
>
> zeigen?
> Dabei könnte f(m) ja nur die Werte 0 oder 1 annehmen.
Auch [mm] \psi [/mm] hast Du nicht verstanden.
Zu zeigen sind:
1. [mm] (\Psi \circ \Phi)(A) [/mm] =A für jede Teilmenge A von M
und
2. [mm] (\Phi \circ \Psi)(f)=f [/mm] für jedes $ f [mm] \in \{0,1\}^M [/mm] $.
Zu 1.: sei A eine Teilmenge von M. Dann:
[mm] (\Psi \circ \Phi)(A) =\Psi(\Phi(A))=\{m \in M: \Phi(A)(m)=1\}=A.
[/mm]
Das 2. "=" kommt von der Def. von [mm] \Psi, [/mm] das 3. "=" von der Def. von [mm] \Phi.
[/mm]
Zu 2.: sei $ f [mm] \in \{0,1\}^M [/mm] $: Dann:
[mm] $(\Phi \circ \Psi)(f)=\Phi(\Psi(f))=\Phi(\{m\in M|f(m)=1\} [/mm] )=f.$
Begründe nun Du das letzte "="
FRED
|
|
|
| |
|
> Zu 2.: sei $ f [mm] \in \{0,1\}^M [/mm] $: Dann:
$ [mm] (\Phi \circ \Psi)(f)=\Phi(\Psi(f))=\Phi(\{m\in M|f(m)=1\} [/mm] )=f. $
> Begründe nun Du das letzte "="
Hier ist dann nun zu zeigen, dass [mm] $\Phi(m)=1$ [/mm] ist wenn $f(m)=1$ bzw. [mm] $\Phi(m)=0$ [/mm] wenn $f(m)=0$.
Wenn $f(m)=1$, dann ist [mm] $m\in [/mm] A$ also [mm] $\Phi(m)=1$.
[/mm]
Wenn $f(m)=0$, dann ist [mm] $m\notin [/mm] A$ also [mm] $\Phi(m)=0$.
[/mm]
Die Menge $A$, auf die sich [mm] $\Phi$ [/mm] bezieht, wäre hier ja nun [mm] $\{m\in M|f(m)=1\}$, [/mm] wenn ich es nun endlich richtig verstanden habe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 Fr 21.08.2015 | | Autor: | fred97 |
> > Zu 2.: sei [mm]f \in \{0,1\}^M [/mm]: Dann:
>
> [mm](\Phi \circ \Psi)(f)=\Phi(\Psi(f))=\Phi(\{m\in M|f(m)=1\} )=f.[/mm]
>
> > Begründe nun Du das letzte "="
>
> Hier ist dann nun zu zeigen, dass [mm]\Phi(m)=1[/mm]
[mm] \Phi [/mm] hast Du immer noch nicht verstanden ! Der Def. - Bereich von [mm] \Phi [/mm] ist nicht M, sondern die Potenzmenge von M.
FRED
> ist wenn [mm]f(m)=1[/mm]
> bzw. [mm]\Phi(m)=0[/mm] wenn [mm]f(m)=0[/mm].
>
> Wenn [mm]f(m)=1[/mm], dann ist [mm]m\in A[/mm] also [mm]\Phi(m)=1[/mm].
> Wenn [mm]f(m)=0[/mm], dann ist [mm]m\notin A[/mm] also [mm]\Phi(m)=0[/mm].
>
> Die Menge [mm]A[/mm], auf die sich [mm]\Phi[/mm] bezieht, wäre hier ja nun
> [mm]\{m\in M|f(m)=1\}[/mm], wenn ich es nun endlich richtig
> verstanden habe.
|
|
|
| |
|
Ich verstehe nicht, was ich nicht verstehe....
Ich betrachte die Menge [mm] $\{m\in M|f(m)=1\}\subseteq [/mm] M$ also ein Element der Potenzmenge von $M$.
Ok, ich habe dann den Fehler mit dem Definitionsbereich, dass ich
[mm] $\Phi(m)$ [/mm] schreibe und nicht [mm] $\Phi(\{m\in M|f(m)=1\})$. [/mm]
Aber nun gilt für alle [mm] $m\in\{m\in M|f(m)=1\}$, [/mm] dass $f(m)=1$ und weil m in dieser Menge enthalten ist auch [mm] $\Phi$ [/mm] und wenn $f(m)=0$ ist, dann ist m eben nicht in der Menge enthalten, also ist auch [mm] $\Phi$ [/mm] Null.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Fr 21.08.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo impliziteFunktion!
Zeigen wollen wir gerade:
[mm] $\Phi\circ\Psi=\operatorname{id}_{\{0,1\}^M}$.
[/mm]
Auf der linken und der rechten Seite vom Gleichheitszeichen steht dabei jeweils eine Abbildung [mm] $\{0,1\}^M\to\{0,1\}^M$.
[/mm]
Wie zeigt man die Gleichheit zweier Abbildungen [mm] $g,h\colon X\to [/mm] Y$?
Man zeigt, dass für jedes Element [mm] $x\in [/mm] X$ des Definitionsbereiches $g(x)=h(x)$ gilt.
Um also [mm] $\Phi\circ\Psi=\operatorname{id}_{\{0,1\}^M}$ [/mm] zu zeigen, müssen wir
(*) [mm] $(\Phi\circ\Psi)(f)=\operatorname{id}_{\{0,1\}^M}(f)$
[/mm]
für jedes Element [mm] $f\in\{0,1\}^M$ [/mm] verifizieren.
Sei also [mm] $f\in\{0,1\}^M$, [/mm] d.h. [mm] $f\colon M\to\{0,1\}$.
[/mm]
Die rechte Seite der zu zeigenden Gleichheit (*) lautet nach Definition der Identitätsabbildung einfach $f$.
Die linke Seite der zu zeigenden Gleichheit (*) lautet nach Definition der Verkettung von Funktionen [mm] $\Phi(\Psi(f))$.
[/mm]
> Ich betrachte die Menge [mm]\{m\in M|f(m)=1\}\subseteq M[/mm] also
> ein Element der Potenzmenge von [mm]M[/mm].
OK.
Nach Definition von [mm] $\Psi$ [/mm] gilt [mm] $\Psi(f)=\{m\in M\;|\;f(m)=1\}$.
[/mm]
Zu zeigen bleibt nun also (wie Fred schon schrieb) die Gleichheit
(**) [mm] $\Phi(\{m\in M\;|\;f(m)=1\})=f$.
[/mm]
Mache dir klar, dass sowohl auf der rechten als auch auf der linken Seite jeweils Abbildungen [mm] $M\to\{0,1\}$ [/mm] stehen.
> Ok, ich habe dann den Fehler mit dem Definitionsbereich,
> dass ich
>
> [mm]\Phi(m)[/mm] schreibe und nicht [mm]\Phi(\{m\in M|f(m)=1\})[/mm].
Ja.
> Aber nun gilt für alle [mm]m\in\{m\in M|f(m)=1\}[/mm], dass [mm]f(m)=1[/mm]
> und weil m in dieser Menge enthalten ist auch [mm]\Phi[/mm]
Vermutlich meinst du, [mm] $\Phi$ [/mm] sei 1.
Was meinst du damit?
[mm] $\Phi$ [/mm] ist eine Abbildung [mm] $\Phi\colon\mathcal{P}(M)\to\{0,1\}^M$, [/mm] keine Zahl.
> und wenn
> [mm]f(m)=0[/mm] ist,
Was meinst du nun mit $m$?
> dann ist m eben nicht in der Menge enthalten,
> also ist auch [mm]\Phi[/mm] Null.
Mit viel gutem Willen kann ich eine korrekte Idee erahnen.
Es bleibt (**) zu zeigen.
Wie zeigt man die Gleichheit der beiden Abbildungen [mm] $\Phi(\{m\in M\;|\;f(m)=1\}),f\colon M\to\{0,1\}$?
[/mm]
Indem man
(***) [mm] $\Phi(\{m\in M\;|\;f(m)=1\})(\tilde{m})=f(\tilde{m})$
[/mm]
für jedes [mm] $\tilde{m}\in [/mm] M$ verifiziert.
Sei also [mm] $\tilde{m}\in [/mm] M$.
Unterscheide zum Nachweis von (***) nun die Fälle [mm] $f(\tilde{m})=1$ [/mm] und [mm] $f(\tilde{m})=0$.
[/mm]
(Mache dir zunächst klar, dass (***) eine Übereinstimmung zweier Zahlen aus der Menge [mm] $\{0,1\}$ [/mm] behauptet.)
Ganz allgemeiner Hinweis: Mache dir immer klar, mit was für "Arten von Objekten" du jeweils zu tun hast (z.B. Zahlen, Teilmengen von $M$, Abbildungen von ... nach ...).
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
> $ [mm] \Phi [/mm] $ ist eine Abbildung $ [mm] \Phi\colon\mathcal{P}(M)\to\{0,1\}^M [/mm] $, keine Zahl.
Mit 1 und 0 habe ich hier die Abbildung gemeint, welche identisch Null bzw. 1 ist.
> Mit viel gutem Willen kann ich eine korrekte Idee erahnen.
$ [mm] \Phi(\{m\in M\;|\;f(m)=1\})(\tilde{m})=f(\tilde{m}) [/mm] $
Sei $ [mm] \tilde{m}\in [/mm] M $. Ist [mm] $f(\tilde{m})=1$, [/mm] so ist [mm] $\tilde{m}\in\Psi(f)$.
[/mm]
Also [mm] $\Phi(\Psi(f))=1$ [/mm] nach der Definition von [mm] $\Phi$.
[/mm]
Ist [mm] $f(\tilde{m})=0$, [/mm] so ist [mm] $\tilde{m}\notin\Psi(f)$. [/mm]
Also [mm] $\Phi(\Psi(f))=0$.
[/mm]
Das ist im Grunde das was ich vorher schon meinte und scheint ja falsch zu sein.
Mit der 1 und der Null meine ich aber auch nicht die "Zahlen", sondern die Funktionen welche identisch 1 oder identisch Null ist.
Ich glaube ich habe verstanden, was ich nicht verstehe.
Die Definition
[mm] $\Phi(A)(m):=\begin{cases} 1,\text{falls} m\in A\\ 0,\text{falls} m\notin A\end{cases}$
[/mm]
Wenn diese Funktion nur die "Werte" 1 oder Null annimmt. Wie genau bildet sie dann auf Funktionen ab, die den Wertebereich [mm] $\{0,1\}$ [/mm] haben?
Ich glaube das ist das, was mir an der Aufgabe einfach unklar ist.
Wie die Funktion prinzipiell funktioniert habe ich glaube ich nun verstanden.
Sie funktioniert im Grunde "zweistufig". Ich habe eine Menge M und betrachte davon nun eine Teilmenge A (eben ein Element der Potenzmenge von M).
Als nächstes gucke ich nach ob ein bestimmtes Element $m$ in dieser Menge A enthalten ist und je nachdem ob das Element drin ist oder nicht, weise ich der Funktion nun den Wert Null oder 1 zu.
Naja, aber wo kommen nun die Abbildungen $f: [mm] M\to\{0,1\}$ [/mm] her, auf die abgebildet werden?
Das ist etwas was ich in der Definition von [mm] $\Phi$ [/mm] nicht erkenne...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:39 Sa 22.08.2015 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht hilftes Dir, wenn man die Notation etwas ausführlicher gestaltet.
1. Ist A eine Teilmenge von M, so definieren wir die "charakteristische Funktion" [mm] $f_A:M \to \{0,1\}$ [/mm] von A durch
$ [mm] f_A(m):=\begin{cases} 1,\text{falls} m\in A\\ 0,\text{falls} m\notin A\end{cases} [/mm] $
Die Funktion
$ [mm] \Phi:\mathcal{P}(M)\to\{0,1\}^{M} [/mm] $
ist nun wie folgt definiert:
[mm] \Phi(A):=f_A.
[/mm]
2. Ist $f [mm] \in \{0,1\}^{M}$, [/mm] so definieren wir die "Menge der 1- Stellen von f" durch
[mm] I_f:=\{m \in M: f(m)=1\}.
[/mm]
Die Funktion
$ [mm] \Psi:\{0,1\}^M\to\mathcal{P}(M) [/mm] $
ist nun wie folgt definiert:
[mm] \Psi(f):=I_f.
[/mm]
3. Nun überzeuge Dich von
(1) [mm] I_{f_A}=A [/mm] für jede Teilmenge A von M
und
(2) [mm] f_{I_f}=f [/mm] für jedes $f [mm] \in \{0,1\}^{M}$.
[/mm]
Aus (1) und (2) folgt nun genau das, was Du zeigen sollst !
FRED
|
|
|
| |
|
Ok, ich glaube ich habe es nun endlich
> (1) $ [mm] I_{f_A}=A [/mm] $ für jede Teilmenge A von M
Sei [mm] $A\subseteq [/mm] M$ beliebig, dann ist
[mm] $I_{f_A}\stackrel{\text{Def} I_f}{=}\{m\in M|f_A(m)=1\}\stackrel{\text{Def} f_A}{=}A$
[/mm]
Das hattest du so ja auch schon einmal genannt.
> (2) $ [mm] f_{I_f}=f [/mm] $ für jedes $ f [mm] \in \{0,1\}^{M} [/mm] $
Sei [mm] $f\in\{0,1\}^M$ [/mm] beliebig.
[mm] f_{I_f}=\begin{cases} 1,\text{falls}\,\, m\in I_f\\ 0,\text{falls}\,\, m\notin I_f\end{cases}
[/mm]
Mit der Definition von [mm] $I_f$ [/mm] also
[mm] f_{I_f}=\begin{cases} 1,\text{falls}\,\, m\in \{m\in M|f(m)=1\}\\ 0,\text{falls}\,\, m\notin \{m\in M|f(m)=1\}\end{cases}=f
[/mm]
Die letzte Gleichheit gilt nun, weil wenn [mm] $f_{I_f}$ [/mm] 1 annimmt für die $m$ für die $f(m)=1$ ist.
Und 0, wenn [mm] $f(m)\neq [/mm] 1$. Mit anderen Worten wenn $f(m)=0$ ist. Denn f bildet ja nur auf die Null oder 1 ab.
Beide Funktionen nehmen also immer den selben Wert an.
Ich hoffe das ist nun so korrekt und ich habe alle meine Fehler nun eingesehen und verstanden warum es nun so ist, wie es ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:21 So 23.08.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ok, ich glaube ich habe es nun endlich
>
> > (1) [mm]I_{f_A}=A[/mm] für jede Teilmenge A von M
>
> Sei [mm]A\subseteq M[/mm] beliebig, dann ist
>
> [mm]I_{f_A}\stackrel{\text{Def} I_f}{=}\{m\in M|f_A(m)=1\}\stackrel{\text{Def} f_A}{=}A[/mm]
>
> Das hattest du so ja auch schon einmal genannt.
>
> > (2) [mm]f_{I_f}=f[/mm] für jedes [mm]f \in \{0,1\}^{M}[/mm]
>
> Sei [mm]f\in\{0,1\}^M[/mm] beliebig.
>
> [mm]f_{I_f}=\begin{cases} 1,\text{falls}\,\, m\in I_f\\ 0,\text{falls}\,\, m\notin I_f\end{cases}[/mm]
>
> Mit der Definition von [mm]I_f[/mm] also
>
> [mm]f_{I_f}=\begin{cases} 1,\text{falls}\,\, m\in \{m\in M|f(m)=1\}\\ 0,\text{falls}\,\, m\notin \{m\in M|f(m)=1\}\end{cases}=f[/mm]
>
> Die letzte Gleichheit gilt nun, weil wenn [mm]f_{I_f}[/mm] 1 annimmt
> für die [mm]m[/mm] für die [mm]f(m)=1[/mm] ist.
> Und 0, wenn [mm]f(m)\neq 1[/mm]. Mit anderen Worten wenn [mm]f(m)=0[/mm] ist.
> Denn f bildet ja nur auf die Null oder 1 ab.
> Beide Funktionen nehmen also immer den selben Wert an.
Ist O.K.
Fred
>
> Ich hoffe das ist nun so korrekt und ich habe alle meine
> Fehler nun eingesehen und verstanden warum es nun so ist,
> wie es ist.
|
|
|
| |
|
Vielen Dank an alle Beteiligten für die Hilfe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:36 So 23.08.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Ok, ich glaube ich habe es nun endlich
>
> > (1) [mm]I_{f_A}=A[/mm] für jede Teilmenge A von M
>
> Sei [mm]A\subseteq M[/mm] beliebig, dann ist
>
> [mm]I_{f_A}\stackrel{\text{Def} I_f}{=}\{m\in M|f_A(m)=1\}\stackrel{\text{Def} f_A}{=}A[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > (2) [mm]f_{I_f}=f[/mm] für jedes [mm]f \in \{0,1\}^{M}[/mm]
>
> Sei [mm]f\in\{0,1\}^M[/mm] beliebig.
> [mm]f_{I_f}=\begin{cases} 1,\text{falls}\,\, m\in I_f\\ 0,\text{falls}\,\, m\notin I_f\end{cases}[/mm]
Unterscheide sauber zwischen der Abbildung [mm] $f_{I_f}$ [/mm] und den Zahlen [mm] $f_{I_f}(m)$ [/mm] für [mm] $m\in [/mm] M$:
Auf der linken Seite deiner Gleichheit muss es [mm] $f_{I_f}(m)$ [/mm] heißen.
> Mit der Definition von [mm]I_f[/mm] also
>
> [mm]f_{I_f}=\begin{cases} 1,\text{falls}\,\, m\in \{m\in M|f(m)=1\}\\ 0,\text{falls}\,\, m\notin \{m\in M|f(m)=1\}\end{cases}=f[/mm]
Hier genauso: Links muss es [mm] $f_{I_f}(m)$ [/mm] und rechts $f(m)$ heißen.
Weil also [mm] $f_{I_f}(m)=f(m)$ [/mm] für alle [mm] $m\in [/mm] M$ gilt, gilt wie gewünscht [mm] $f_{I_f}=f$.
[/mm]
|
|
|
| |
|
Du hast recht.
Vielen Dank.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 Sa 22.08.2015 | | Autor: | tobit09 |
> > [mm]\Phi[/mm] ist eine Abbildung
> [mm]\Phi\colon\mathcal{P}(M)\to\{0,1\}^M [/mm], keine Zahl.
>
> Mit 1 und 0 habe ich hier die Abbildung gemeint, welche
> identisch Null bzw. 1 ist.
Abbildung von wo nach wo, d.h. mit welcher Definitionsmenge und welcher Zielmenge?
Was soll dann [mm] "$\Phi$ [/mm] ist 1" bedeuten?
Die Zielmenge der Abbildung [mm] $\Phi$ [/mm] ist [mm] $\{0,1\}^M$ [/mm] und nicht [mm] $\{0,1\}$.
[/mm]
Ist dir klar, was [mm] $\{0,1\}^M$ [/mm] bedeutet?
Zu zeigen:
> [mm]\Phi(\{m\in M\;|\;f(m)=1\})(\tilde{m})=f(\tilde{m})[/mm]
für alle [mm] $\tilde{m}\in [/mm] M$.
> Sei [mm]\tilde{m}\in M [/mm]. Ist [mm]f(\tilde{m})=1[/mm], so ist
> [mm]\tilde{m}\in\Psi(f)[/mm].
Schön! (Dies gilt nach Definition von [mm] $\Psi$.)
[/mm]
> Also [mm]\Phi(\Psi(f))=1[/mm] nach der Definition von [mm]\Phi[/mm].
Was ist [mm] $\Phi(\Psi(f))$ [/mm] für eine "Art von Objekt"?
Es ist [mm] $\Phi(\Psi(f))\in\{0,1\}^M$, [/mm] also [mm] $\Phi(\Psi(f))\colon M\to\{0,1\}$.
[/mm]
Du schreibst nun: [mm] $\Phi(\Psi(f))=1$.
[/mm]
Mit 1 meinst du anscheinend hier die Abbildung von M nach [mm] $\{0,1\}$, [/mm] die konstant den Wert 1 annimmt?
Wir versuchen gerade [mm] $\Phi(\Psi(f))=f$ [/mm] einzusehen.
(Dazu wollen wir für unser beliebig vorgegebenes [mm] $\tilde{m}\in [/mm] M$ die Gleichung [mm] $\Phi(\Psi(f))(\tilde{m})=f(\tilde{m})$ [/mm] zeigen.)
Da wäre [mm] $\Phi(\Psi(f))=1$ [/mm] schlecht (wenn f nicht gerade konstant den Wert 1 annimmt).
Abhilfe (für den Fall [mm] $f(\tilde{m})=1$):
[/mm]
Wegen [mm] $\tilde{m}\in\Psi(f)$ [/mm] gilt nach Definition von [mm] $\Phi$
[/mm]
[mm] $\Phi(\Psi(f))(\tilde{m})=1$.
[/mm]
Also
[mm] $\Phi(\Psi(f))(\tilde{m})=1=f(\tilde{m})$.
[/mm]
> Ist [mm]f(\tilde{m})=0[/mm], so ist [mm]\tilde{m}\notin\Psi(f)[/mm].
> Also [mm]\Phi(\Psi(f))=0[/mm].
Hier gilt Entsprechendes.
Verständnisfrage:
Wie lauten [mm] $\Phi(M)$ [/mm] und [mm] $\Phi(\emptyset)$?
[/mm]
(Vergiss nicht, Definitionsmenge und Zielmenge der Abbildungen anzugeben!)
> Die Definition
>
> [mm]\Phi(A)(m):=\begin{cases} 1,\text{falls} m\in A\\ 0,\text{falls} m\notin A\end{cases}[/mm]
Beachte: Es soll
[mm] $\Phi\colon\mathcal{P}(M)\to\{0,1\}^M$
[/mm]
sein.
Um eine solche Abbildung [mm] $\Phi$ [/mm] zu definieren, müssen wir für jedes [mm] $A\in\mathcal{P}(M)$ [/mm] festlegen, was [mm] $\Phi(A)$ [/mm] sein soll.
Sei also [mm] $A\in\mathcal{P}(M)$.
[/mm]
Was soll [mm] $\Phi(A)$ [/mm] für eine "Art von Objekt" sein?
Ein Element der Zielmenge von [mm] $\Phi$, [/mm] also ein Element von [mm] $\{0,1\}^M$, [/mm] also eine Abbildung mit Definitionsmenge $M$ und Zielmenge [mm] $\{0,1\}$, [/mm] also
[mm] $\Phi(A)\colon M\to\{0,1\}$.
[/mm]
Um eine solche Abbildung [mm] $\Phi(A)$ [/mm] zu definieren, müssen wir für jedes [mm] $m\in [/mm] M$ festlegen, was [mm] $\Phi(A)(m)$ [/mm] sein soll.
Genau dies leistet die von dir zitierte Definition.
> Wenn diese Funktion nur die "Werte" 1 oder Null annimmt.
Falls du mit "dieser Funktion" die Abbildung [mm] $\Phi$ [/mm] meinst:
Diese Abbildung nimmt überhaupt keine der Zahlen 1 und 0 an, sondern nimmt als Werte Abbildungen von $M$ nach [mm] $\{0,1\}$ [/mm] an.
Falls du mit "dieser Funktion" die Abbildung [mm] $\Phi(A)\colon M\to\{0,1\}$ [/mm] für ein gewisses [mm] $A\subseteq [/mm] M$ meinst:
Es ist [mm] $\Phi(A)$ [/mm] die konstante Nullabbildung von $M$ nach [mm] $\{0,1\}$ [/mm] genau dann, wenn [mm] $A=\emptyset$ [/mm] gilt und die konstante Einsabbildung von $M$ nach [mm] $\{0,1\}$ [/mm] genau dann, wenn $A=M$ gilt.
> Wie genau bildet sie dann auf Funktionen ab, die den
> Wertebereich [mm]\{0,1\}[/mm] haben?
"Sie" bezeichnet hier [mm] $\Phi$?
[/mm]
Hat sich diese Frage mit obigen Erklärungen (oder auch Freds aktueller Antwort) geklärt?
> Wie die Funktion prinzipiell funktioniert habe ich glaube
> ich nun verstanden.
"Die Funktion" ist hier [mm] $\Phi$?
[/mm]
> Sie funktioniert im Grunde "zweistufig". Ich habe eine
> Menge M und betrachte davon nun eine Teilmenge A (eben ein
> Element der Potenzmenge von M).
Ja, für JEDES [mm] $A\in\mathcal{P}(M)$ [/mm] ist [mm] $\Phi(A)$ [/mm] zu definieren.
> Als nächstes gucke ich nach ob ein bestimmtes Element [mm]m[/mm] in
> dieser Menge A enthalten ist und je nachdem ob das Element
> drin ist oder nicht, weise ich der Funktion nun den Wert
> Null oder 1 zu.
"Die Funktion" bezeichnet hier [mm] $\Phi(A)$?
[/mm]
Die Abbildung [mm] $\Phi(A)\colon M\to\{0,1\}$ [/mm] wird definiert durch
[mm] $\Phi(A)(m):=\begin{cases} 1,\text{falls} m\in A\\ 0,\text{falls} m\notin A\end{cases}$
[/mm]
für JEDES [mm] $m\in [/mm] M$.
> Naja, aber wo kommen nun die Abbildungen [mm]f: M\to\{0,1\}[/mm]
> her, auf die abgebildet werden?
Für jedes [mm] $A\in\mathcal{P}(M)$ [/mm] wird [mm] $\Phi(A)$ [/mm] wie gerade erwähnt definiert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Sa 22.08.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Ich habe versucht mir ein Beispiel zu machen.
Gute Idee!
> Wenn [mm]M=\{0,1\}[/mm].
Führe deine Überlegungen lieber z.B. mit [mm] $M=\{a,b,c\}$ [/mm] durch.
Sonst kommt man leicht mit den ganzen 0en und 1en durcheinander.
> Dann ist
> [mm]\mathcal{P}(M)=\{\emptyset,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}[/mm].
> Und [mm]A[/mm] ist nun irgendein Element aus dieser Potenzmenge.
Hm, für JEDES [mm] $A\in\mathcal{P}(M)$ [/mm] ist [mm] $\Phi(A)$ [/mm] definiert.
> Zum Beispiel [mm]A=\{0\}[/mm]
>
> Dann ist [mm]\Phi(\{0\})(0)=1[/mm] und [mm]\Phi(\{0\})(1)=0[/mm]
Also [mm] $\Phi(\{0\})=f_3$ [/mm] (wobei [mm] $f_3$ [/mm] wie unten von dir eingeführt definiert sei).
> Bilde ich die Menge aller Funktion mit Definitionsbereich [mm]M[/mm]
> und Wertebereich [mm]\{0,1\}[/mm], dann sollte ich vier Funktionen
> erhalten, für die gilt:
>
> [mm]f_1(0)=0[/mm]
> [mm]f_1(1)=0[/mm]
>
> und
>
> [mm]f_2(0)=0[/mm]
> [mm]f_2(1)=1[/mm]
>
> und
>
> [mm]f_3(0)=1[/mm]
> [mm]f_3(1)=0[/mm]
>
> und
>
> [mm]f_4(0)=1[/mm]
> [mm]f_4(1)=1[/mm]
> Dann wäre
>
> [mm]\Psi(f_1)=\emptyset[/mm]
>
> [mm]\Psi(f_2)=\{1\}[/mm]
>
> [mm]\Psi(f_3)=\{0\}[/mm]
>
> [mm]\Psi(f_4)=\{0,1\}[/mm]
> Um jetzt dem Beispiel mit [mm]A=\{0\}[/mm] zu folgen, dann ist
>
> [mm]\Psi(\Phi(\{0\})(0))=\Psi(1)[/mm]
Nein, es gilt [mm] $\Psi(\Phi(\{0\})=\Psi(f_3)=\{0\}$.
[/mm]
Dies ist auch gut so, denn vorausgesetzt die Behauptung aus der Aufgabenstellung stimmt, so muss gelten:
[mm] $\Psi(\Phi(\{0\}))=id_{\mathcal{P}(M)}(\{0\})=\{0\}$.
[/mm]
[mm] ($\Psi(1)$ [/mm] ergibt nur dann Sinn, wenn du mit 1 die Abbildung [mm] $f_4$ [/mm] meinst.)
|
|
|
| |
|
Vielen Dank, dass du noch einmal über mein Beispiel geschaut hast.
Deine Anmerkungen haben mir mein Missverständnis klar gemacht.
Hoffe ich zumindest. :)
|
|
|
|
