Beziehung zwischen Primzahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:58 Di 13.03.2012 | | Autor: | wauwau |
| Aufgabe | Bestimme [mm] $q_1,q_2...q_k$ [/mm] primzahlen $k > 2$ sodass
[mm] $(q_1-1)(q_2-1)..(q_{k-1}-1)q_k [/mm] - [mm] q_1q_2q_{k-1}(q_k-1) [/mm] = 2$ |
Wie packt man so ein problem an?
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Hallo wauwau,
keine Ahnung, wie man sowas grundsätzlicher angeht.
Ich würde ja immer erst mal ein bisschen probieren, was da eigentlich passiert, dann genauer nachschauen.
Unmöglich ist es jedenfalls nicht: [mm] q_1=5,\ q_2=7,\ q_3=3 [/mm] ist eine Lösung.
[mm] q_k [/mm] hat ganz offensichtlich eine Sonderrolle, die anderen können vertauscht werden.
Ich denke, dass es nur eine äußerst begrenzte Zahl von Lösungen geben wird.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 Di 13.03.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
[mm] q_1=13,\ q_2=67, q_3=11 [/mm] ist auch eine Lösung.
Lösungen mit k>3 kann es nicht geben.
Für k=3 sollte die Zahl der Lösungen m.E. endlich sein. Wenn das stimmt, dann liegt Dir hiermit höchstwahrscheinlich auch schon die Mehrheit der Lösungen vor. 
Grüße
reverend
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> Lösungen mit k>3 kann es nicht geben.
Da würde mich ehrlich gesagt das "warum?" mal interessieren.
Was hast du gegen:
[mm] $p_1 [/mm] = 5$, [mm] $p_2 [/mm] = 7$, [mm] $p_3 [/mm] = 37$, [mm] $p_4 [/mm] = 3$?
oder auch $(7,7,11,3)$ ist eine Lösung...
lg
Schadow
PS: $(7,11,11,17,3)$ wäre etwa ein fünfstelliger.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:44 Di 13.03.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Schadow,
> > Lösungen mit k>3 kann es nicht geben.
>
> Da würde mich ehrlich gesagt das "warum?" mal
> interessieren.
> Was hast du gegen:
> [mm]p_1 = 5[/mm], [mm]p_2 = 7[/mm], [mm]p_3 = 37[/mm], [mm]p_4 = 3[/mm]?
Äh, nichts. Vielleicht sollte ich mich wieder auf meine Sitzung konzentrieren statt auf den WLAN-Zugang.
> oder auch [mm](7,7,11,3)[/mm] ist eine Lösung...
>
> lg
>
> Schadow
>
> PS: [mm](7,11,11,17,3)[/mm] wäre etwa ein fünfstelliger.
Der "schönste" dreistellige, den ich bisher gefunden habe, ist (277,613,191). Oder sonst (73,2557,71); (109,5779,107); (181,16111,179) etc. Es spricht nichts dafür, dass die Zahl solcher Tripel bzw. n-Tupel endlich ist. Es sah nur anfangs so aus...
Tja, damit wären wir also am Anfang der Aufgabe.
Grüße
reverend
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So, damit mal alle, die Interesse haben, was zum rumspielen haben, hier ein paar Lösungen:
[5, 7, 3]
[13, 67, 11]
[67, 487, 59]
[277, 613, 191]
[463, 547, 251]
[571, 883, 347]
[5, 7, 37, 3]
[7, 7, 11, 3]
[37, 107, 131, 23]
[137, 283, 797, 83]
[7, 7, 13, 59, 3]
[7, 11, 11, 17, 3]
Die 3 und 4stelligen sind alle Lösungen für Primzahlen [mm] $\leq [/mm] 1000$, die 5stelligen mangels Rechenleistung nur für Primzahlen [mm] $\leq [/mm] 100$.
lg
Schadow
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(Frage) überfällig | | Datum: | 12:51 Mi 14.03.2012 | | Autor: | wauwau |
| Aufgabe | Mir fällt auf, dass bei allen Lösungen
[mm] $q_1q_2...q_{k-1}-2 [/mm] = [mm] q_k[q_1q_2...q_{k-1}-(q_1-1)(q_2-1)...(q_{k-1}-1)]$ [/mm] quadratfrei ist ("keinen Primfaktor zweimal enthält") |
Zufall oder beweisbar?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:52 Do 15.03.2012 | | Autor: | hippias |
Als beweisbar habe ich ersteinmal nur Folgendes: Interessant ist nur der Fall, in dem alle Primzahlen $>2$ sind. Ist dabei [mm] $q_{k}\equiv_{4} [/mm] 1$, so muss $k= 2$ sein und die Loesungen der Gleichungen sind genau die Primzahlpaearchen. Gilt [mm] $q_{k}\equiv_{4} [/mm] -1$, so kann ich vorerst keine weiteren Aussagen treffen. Dass eine der Primzahlen $=2$ ist, ist nicht moeglich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Sa 14.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Do 05.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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