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| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Ungleichung:
[mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in \IQ [/mm] : [mm] ||x|-|y||\le|x+y|
[/mm]
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Hallo Leute,
Erstmal wollte ich fragen, was für ein Basiswissen ich benötige um die oben angegeben Aufgabe so zu verstehen, das ich sie beweisen kann.
Mit welchen Themen soll ich mich auseinander setzen? Im Moment habe ich überhaupt keinen Anhaltspunkt! Hilfe jeglicher Art, wäre ein Segen..!
Grüße Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Fr 18.09.2009 | | Autor: | abakus |
> Beweisen Sie folgende Ungleichung:
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> [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in \IQ[/mm] : ||x|-|y||<|x+y|
>
> Hallo Leute,
>
> Erstmal wollte ich fragen, was für ein Basiswissen ich
> benötige um die oben angegeben Aufgabe so zu verstehen,
> das ich sie beweisen kann.
Hallo,
man kann diese Aussage nicht beweisen, weil sie falsch ist.
Für y=0 gilt ||x|-|y||=|x+y|.
Für den Fall, dass es in Wirklichkeit [mm] \le [/mm] heißen soll:
Es genügt eine Fallunterscheidung
Fall 1: x und y haben das gleiche Vorzeichen
Fall 2: x und y haben entgegengesetztes Vorzeichen
(mit Anwendung der Definition des Betrags).
Gruß Abakus
> Mit welchen Themen soll ich mich auseinander setzen? Im
> Moment habe ich überhaupt keinen Anhaltspunkt! Hilfe
> jeglicher Art, wäre ein Segen..!
>
> Grüße Daniel
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Darf ich für den Beweis, "einfachhaltshalber" das y festsetzen?
Gruß Daniel
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Hallo Blaub33r3!
> Darf ich für den Beweis, "einfachhaltshalber" das y
> festsetzen?
Wie "festsetzen"? In der Aufgabenstellung steht, dass es für alle x und y gilt. Also musst du das auch beweisen! Aber was würde es dir denn auch bringen, wenn du y festsetzt?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Ja gute Frage 
Also wenn ich z.B. y=5 setze, dann kann ich mir die ganze Gleichung schon viel schöner vorstellen.
[mm] ||x|-|3|\le|x+3| [/mm] Hmm hehe so, das versuch ich mal für einen Fall zu beweisen
Und zwar den Fall für dass x [mm] \ge0 [/mm] sei
Dann müssten doch alle Betragszeichen wegfallen eigentlich.^^?
[mm] |x-3|\le [/mm] x+3 Die äußeren Betragsstriche fallen auch weg, weil eigentlich ja nur x > 3 gelten müsste, aber mit der Voraussetzung x>0 wird dies mit Berücksichtig, genauso wie x>-3. Für den Ausdruck auf der Rechten Seite.
[mm] x-3\le [/mm] x+3 Hmm okay, irgendwie ist das doch nicht so gut wegen dem Gleich merk ich gerade....
also hab ich für den ersten Fall [mm] -3\le [/mm] +3 .....
Schade^^...Naja ähm ich poste das hier mal trotzdem, und hoffe auf Verbesserungschläge^^!
Grüße Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:20 Sa 19.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. ein Betrag kann nie <0 sein, also ist dein Beweis fuer den Spezialfall falsch.
da |-a|=|+a| ist auf dr linken seite egal ob da ||x|-|y|| oder ||y|-|x|| steht.
deshalb kannst du annehmen [mm] x\le [/mm] y fuer x=y ist der Beweis trivial, also x<y
1. [mm] 0\le [/mm] x <y also beide [mm] \ge [/mm] 0
dann x<0,y>0 dann beide <0
und jetzt los.
Im kopf kannst du dir ja jeweils Zahlen vorstellen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:48 Sa 19.09.2009 | | Autor: | Blaub33r3 |
Ich find die Delete-Funktion nicht.
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Okay...
[mm] ||x|-|y||\le|x+y|
[/mm]
Fall 1.
0 [mm] \le [/mm] y < x beide sind also >0
Ich löse die Beträge in 2 Schritte auf.
[mm] |x-y|\le|x+y|
[/mm]
[mm] x-y\le [/mm] x+y
[mm] 0\le2y
[/mm]
Ist das so in Ordnung für den ersten Fall?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:39 Sa 19.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Richtig, weiter si
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:21 Sa 19.09.2009 | | Autor: | Blaub33r3 |
Sorry, hatte es falsch deklariert.
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Guten Morgen
Mein 2ter Fall wäre [mm] y
[mm] ||x|-|y||\le|x+y|
[/mm]
Dann lösen sich die ersten Beträge auf
[mm] |-(-x)-[-(-x)]|\le-(x+y)
[/mm]
[mm] |x-y|\le-x-y [/mm] // x-y ist immer positiv,also kann ich Beträge auch hier weg lassen
[mm] 2x\le0 [/mm] und das stimmt anscheinend wenn [mm] x\le0 [/mm] ist.
Der erste Fall mit mit 2 unterschiedlichen Vorzeichen. Dafür definiere ich
[mm] x<0\le [/mm] y
|-(-x)-y| [mm] \le|x+y| [/mm] //Löse innere Beträge auf
[mm] |x-y|\le|x+y| [/mm]
[mm] -x+y\le|x+y| [/mm] //Löse linke Beträge auf, da x-y < 0 ist
So jetzt stellt sich mir ein Problem auf. Und zwar |x+y| hat je nach Betrag von |x| und |y| ein positives oder negatives Ergebnis, also müsste ich in der Rechnung nochmal eine Fallunterscheidung machen oder? Aber wie mach ich das? Oder befinde ich mich auf dem Holzweg?
Grüße Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Sa 19.09.2009 | | Autor: | chrisno |
> Mein 2ter Fall wäre [mm]y
>
> [mm]||x|-|y||\le|x+y|[/mm]
>
> Dann lösen sich die ersten Beträge auf
>
> [mm]|-(-x)-[-(-x)]|\le-(x+y)[/mm]
Wo kommt jeweils das zweite Minuszeichen her? Das eine x soll sicher ein y sein.
[mm]|-x-(-y)|\le-(x+y)[/mm]
....
> Dafür definiere ich
>
> [mm]x<0\le[/mm] y
>
> |-(-x)-y| [mm]\le|x+y|[/mm] //Löse innere Beträge auf
schon wieder zwei Minuszeichen
...
> So jetzt stellt sich mir ein Problem auf. Und zwar |x+y|
> hat je nach Betrag von |x| und |y| ein positives oder
> negatives Ergebnis,
Da meinst Du etwas anderes, da der Betrag immer ein positives Ergebnis hat.
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ChrisNo, du hast recht, hier mein überarbeiteter Rechnungsweg
Mein 2ter Fall wäre [mm] y\le x\le0 [/mm] (Beide Vorzeichen negativ)
[mm] ||x|-|y||\le|x+y|
[/mm]
Dann lösen sich die ersten Beträge auf
[mm] |-x+y|\le-(x+y)
[/mm]
[mm] |y-x|\le-x-y [/mm] // y-x ist immer negativ oder 0
[mm] -(y-x)\le-x-y
[/mm]
x-y [mm] \le [/mm] -x-y
[mm] 2x\le0 [/mm] und das stimmt anscheinend wenn [mm] x\le0 [/mm] ist. Ja??
Nun folgt der erste Fall mit mit 2 unterschiedlichen Vorzeichen. Dafür definiere ich
[mm] x\le0\le [/mm] y
|-x-y| [mm] \le|x+y| [/mm] //Löse innere Beträge auf
[mm] |-x-y|\le|x+y| [/mm]
So jetzt stellt sich mir ein Problem auf. Und zwar |x+y| und |-x-y| hat je nach Betrag von |x| und |y| ein positives oder negatives Ergebnis, also müsste ich in der Rechnung nochmal eine Fallunterscheidung machen oder? Aber wie mach ich das? Oder befinde ich mich auf dem Holzweg?
Grüße Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 So 20.09.2009 | | Autor: | chrisno |
> [mm]|-x-y|\le|x+y|[/mm]
>
> So jetzt stellt sich mir ein Problem auf. Und zwar |x+y|
> und |-x-y| hat je nach Betrag von |x| und |y| ein
> positives oder negatives Ergebnis, also müsste ich in der
> Rechnung nochmal eine Fallunterscheidung machen oder?
Ja. Wie einfach es ist, siehst Du, wenn Du -(x+y) anstelle von -x-y schreibst. Du hast schon geschrieben, was zu tun ist:
1. Fall x+y > 0
2. Fall x+y < 0
(x+y=0 ist schon erledigt oder?)
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> > [mm]|-x-y|\le|x+y|[/mm]
> >
> > So jetzt stellt sich mir ein Problem auf. Und zwar |x+y|
> > und |-x-y| hat je nach Betrag von |x| und |y| ein
> > positives oder negatives Ergebnis, also müsste ich in der
> > Rechnung nochmal eine Fallunterscheidung machen oder?
>
> Ja. Wie einfach es ist, siehst Du, wenn Du -(x+y) anstelle
> von -x-y schreibst. Du hast schon geschrieben, was zu tun
> ist:
> 1. Fall x+y > 0
> 2. Fall x+y < 0
> (x+y=0 ist schon erledigt oder?)
Sorry, ich hab einen falschen Ansatz gehabt, merk ich gerade...
x [mm] \le 0\le [/mm] y
[mm] ||x|-|y||\le|x+y| [/mm] folgt
[mm] |-x-y|\le|-x+y| [/mm]
[mm] |-(x+y)|\le|-x+y| [/mm] Ab hier mach ich jetzt 2 Fälle
1. Fall x+y > 0
[mm] |-(x+y)|\le|-x+y|
[/mm]
x+y [mm] \le [/mm] -x+y
2x [mm] \le [/mm] 0 yupi, kommt hin für x [mm] \le [/mm] 0
2.Fall x+y < 0
[mm] |-(x+y)|\le|-x+y|
[/mm]
-x-y [mm] \le [/mm] -x+y
0 [mm] \le [/mm] 2y Stimmt auch :)
Den Fall x+y=0 brauch ich ja nicht mehr, das spielt keine Rolle. (Da ich alles [mm] \le [/mm] ausgewählt habe)
Hab ich die Aufgabe jetzt zufriedenstellend gelöst? Oder müsste ich vollständigerweise nochmal den Fall y [mm] \le [/mm] 0 [mm] \le [/mm] x genauso dazu schreiben, sind ja quasi die selben Ergebnisse.
Hat mir das irgendeine besondere Kenntnis gebracht diese Formel
[mm] ||x|-|y||\le|x+y| [/mm] zubeweisen? Wozu braucht man sowas?
Gruß Daniel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:02 Mo 21.09.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > [mm]|-x-y|\le|x+y|[/mm]
> > >
> > > So jetzt stellt sich mir ein Problem auf. Und zwar |x+y|
> > > und |-x-y| hat je nach Betrag von |x| und |y| ein
> > > positives oder negatives Ergebnis, also müsste ich in der
> > > Rechnung nochmal eine Fallunterscheidung machen oder?
> >
> > Ja. Wie einfach es ist, siehst Du, wenn Du -(x+y) anstelle
> > von -x-y schreibst. Du hast schon geschrieben, was zu tun
> > ist:
> > 1. Fall x+y > 0
> > 2. Fall x+y < 0
> > (x+y=0 ist schon erledigt oder?)
>
> Sorry, ich hab einen falschen Ansatz gehabt, merk ich
> gerade...
>
> x [mm]\le 0\le[/mm] y
>
> [mm]||x|-|y||\le|x+y|[/mm] folgt
> [mm]|-x-y|\le|-x+y|[/mm]
> [mm]|-(x+y)|\le|-x+y|[/mm] Ab hier mach ich jetzt 2 Fälle
>
> 1. Fall x+y > 0
>
> [mm]|-(x+y)|\le|-x+y|[/mm]
> x+y [mm]\le[/mm] -x+y
> 2x [mm]\le[/mm] 0 yupi, kommt hin für x [mm]\le[/mm] 0
>
> 2.Fall x+y < 0
>
> [mm]|-(x+y)|\le|-x+y|[/mm]
> -x-y [mm]\le[/mm] -x+y
> 0 [mm]\le[/mm] 2y Stimmt auch :)
>
> Den Fall x+y=0 brauch ich ja nicht mehr, das spielt keine
> Rolle. (Da ich alles [mm]\le[/mm] ausgewählt habe)
>
> Hab ich die Aufgabe jetzt zufriedenstellend gelöst? Oder
> müsste ich vollständigerweise nochmal den Fall y [mm]\le[/mm] 0
> [mm]\le[/mm] x genauso dazu schreiben, sind ja quasi die selben
> Ergebnisse.
> Hat mir das irgendeine besondere Kenntnis gebracht diese
> Formel
> [mm]||x|-|y||\le|x+y|[/mm] zubeweisen? Wozu braucht man sowas?
sorry, ich bin gerade zu faul, mir die ganze Diskussion hier durchzulesen. Du sollst aber augenscheinlich
$$||x|-|y|| [mm] \le [/mm] |x+y|$$
beweisen.
Generell heißt das, dass Du nicht diese Aussage benützen sollst, und daraus dann eine wahre herleiten sollst, sondern umgekehrt:
Aus einer (offensichtlich, ggf. aus den Axiomen oder auch schon anders bewiesenen) wahren Aussage ist zu folgern, dass
$$||x|-|y|| [mm] \le [/mm] |x+y|$$
gilt. Natürlich kannst Du auch sagen:
Ich benutze nur Äquivalenzumformungen (also [mm] $\gdw$-Zeichen), [/mm] bis ich zu einer wahren Aussage gelange, und bekomme dann durch Verfolgen der Pfeile [mm] $\Leftarrow$ [/mm] den eigentlichen Beweis.
Die obige Aussage ist eigentlich sehr einfach zu beweisen:
Setze mal der Übersicht halber $z:=|x|-|y|$ für gegebene $x,y [mm] \in \IR$. [/mm] Dann gibt es, bzgl. [mm] $|z|=||x|-|y||\,$, [/mm] zwei Fälle:
1. Fall:
$z [mm] \ge [/mm] 0$. Dann ist $|z|=z=|x|-|y|$.
Die zu beweisende Ungleichung
$$||x|-|y|| [mm] \le [/mm] |x+y|$$
läßt sich nun wie folgt umschreiben:
[mm] $$|\underbrace{|x|-|y|}_{=z}| \le [/mm] |x+y|$$
[mm] $$\underset{\text{da }\;z=|x|-|y|\ge 0}{\gdw}$$
[/mm]
$$|x|-|y| [mm] \le |x+y|\,.$$
[/mm]
Es reicht also, [mm] $|x|-|y|\le [/mm] |x+y|$ zu beweisen. Dies folgt aber wegen [mm] $|x|=|\underbrace{x+y}_{=:a}+(\underbrace{-y}_{=:b})|$ [/mm] aus der Dreiecksungleichung ($|a+b| [mm] \le [/mm] |a|+|b|$). (Beachte auch [mm] $|-y|=|y|\,$.)
[/mm]
2. Fall:
Hier ist $|z|=-z$, also die zu beweisende Ungleichung
$$||x|-|y|| [mm] \le [/mm] |x+y|$$
äquivalent zu
[mm] $$|y|-|x|\le |x+y|\,.$$
[/mm]
Auch hier führt die Dreiecksungleichung zum Ziel, wenn man $|y|=|x+y+(-x)|$ schreibt und $|-x|=|x|$ beachtet.
Also:
Jmd., der den Überblick hat und auch keine Probleme mit der Struktur von Beweisen hat, erkennt, dass und wie meine obigen Ausführungen oben genau zu lesen sind. Damit Du da vll. einen besseren Überblick bekommst, schreibe ich Dir mal den 1. Fall noch strukturierter auf. Das ganze steht aber oben offensichtlich auch alles schonmal:
1. Fall:
Wir betrachten $z=|x|-|y| [mm] \ge [/mm] 0$. Zu zeigen ist nun, dass dann
$$||x|-|y|| [mm] \le [/mm] |x+y|$$
bzw. wegen $z=|x|-|y| [mm] \ge [/mm] 0$ dann
[mm] $$(\star)\;\;\;|x|-|y| \le [/mm] |x+y|$$
gilt.
Das geht nun wie folgt:
Es gilt nach der Dreiecksungleichung
[mm] $$|x|=|\blue{x+y}+\green{(-y)}| \le |\blue{x+y}|+|\green{-y}|$$
[/mm]
und wegen $|-y|=|y|$ folgt daher
$$|x| [mm] \le |x+y|+|y|\,.$$
[/mm]
Subtraktion von $|y|$ auf beiden Seiten der letzten Ungleichung liefert:
$$|x|-|y| [mm] \le |x+y|\,,$$
[/mm]
also gerade [mm] $(\star)$, [/mm] was wir hier (da wir in unserem Falle zunächst $z [mm] \ge [/mm] 0$ vorausgesetzt haben) zu beweisen hatten.
Den zweiten Fall kannst Du nun auch analog aufschreiben.
P.S.:
$$|-x-y| [mm] \le [/mm] |x+y|$$
ist übrigens trivial, da sogar
$$|-x-y|=|-(x+y)|=|x+y|$$
gilt.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:38 Sa 19.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Daniel
> Beweisen Sie folgende Ungleichung:
>
> [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in \IQ[/mm] : [mm]||x|-|y||\le|x+y|[/mm]
>
> Erstmal wollte ich fragen, was für ein Basiswissen ich
> benötige um die oben angegeben Aufgabe so zu verstehen,
> das ich sie beweisen kann.
Du musst wissen, was fuer Axiome du hast und benutzen darfst, und wie man aus logischen Aussagen Folgerungen zieht.
Weiterhin ist es noch ganz praktisch, etwas ueber Symmetrie zu wissen: gilt die Aussage fuer $x$ und $y$ mit beliebigen $x$ und $y$ ohne weitere Einschraenkungen, so kannst du $x$ und $y$ in der Aussage auch vertauschen.
Dann kannst du mit der Dreiecksungleichung $|x| - |y| [mm] \le [/mm] |x + y|$ zeigen (betrachte $|x| - |y| = |x + y + (-y)| - |y| [mm] \le [/mm] |x + y| + |-y| - |y|$). Wegen der gerade genannten Symmetrie gilt dann auch $-(|x| - |y|) = |y| - |x| [mm] \le [/mm] |y + x| = |x + y|$, und wenn du jetzt benutzt, dass $||x| - |y||$ entweder $|x| - |y|$ oder $|y| - |x|$ ist, dann bist du fertig.
LG Felix
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