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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass sin nx [mm] \le [/mm] nsinx für alle natürlichen Zahlen n und alle 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \bruch{\pi}{2} [/mm] gilt.
Hinweis: sin (n+1)x kann genutzt werden, um die kompliziertere Seite zu erweitern. Also [mm] -1\le [/mm] cos0 [mm] \le [/mm] 1. |
Hallo,
ich versuche mich gerade an der obigen Übungsaufgabe aus einem Buch. Leider komme ich dabei nicht wirklich weiter und eine Lösungsangabe git es dazu nicht.
Mein bisheriger Ansatz :
Ich würde den Induktionsbeweis nutzen.
Dann lautet der Induktionsanfang mit n=1:
[mm] sin1x\le1sinx
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
sinx [mm] \le [/mm] sinx
Damit ist dieser wahr.
Es folgt der Induktionsschritt :
Ich gehe davon aus, die Aussage sei wahr für ein [mm] k\in\IN.
[/mm]
Dann gilt [mm] sinkx\leksinx.
[/mm]
Für (k+1) gilt nun [mm] sin(k+1)x\le(k+1)sinx.
[/mm]
Nun kommt der Punkt, an dem ich nicht wirklich weiterkomme.
Ich bin auf die Idee gekommen, dass der Beweis folgender Ungleichungskette eigendlich ausreichen müsste :
sin(k+1)x [mm] \le [/mm] sinkx [mm] \le [/mm] (k+1)sinx.
Wie ich das aber machen soll ist mir unklar.
Zudem ist mir nicht klar, wie ich mit der Angabe 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \bruch{\pi}{2} [/mm] umgehen soll.
Wie ich gar den Lösungshinweis einbauen kann ist mir gänzlich unklar.
Es würde mich freuen, wenn sich jemand findet, um mir zu erklären, wie man diese Aufgabe löst/angeht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:18 Mo 01.06.2015 | | Autor: | Windbeutel |
Mir ist gerade der Grund für die Beschränkung auf 0 $ [mm] \le [/mm] $ x $ [mm] \le \bruch{\pi}{2} [/mm] $ klar geworden. da hatte ich ursprünglich etwas falsch verstanden. Diese Frage hat sich also erledigt. 
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:31 Di 02.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass sin nx [mm]\le[/mm] nsinx für alle natürlichen
> Zahlen n und alle 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le \bruch{\pi}{2}[/mm] gilt.
>
> Hinweis: sin (n+1)x kann genutzt werden, um die
> kompliziertere Seite zu erweitern.
Merkwürdig ! Lautet das im Original wirklich so ?
> Also [mm]-1\le[/mm] cos0 [mm]\le[/mm] 1.
Da ist wohl [mm]-1\le[/mm] cosx [mm]\le[/mm] 1 gemeint.
> Hallo,
>
> ich versuche mich gerade an der obigen Übungsaufgabe aus
> einem Buch. Leider komme ich dabei nicht wirklich weiter
> und eine Lösungsangabe git es dazu nicht.
>
> Mein bisheriger Ansatz :
> Ich würde den Induktionsbeweis nutzen.
>
> Dann lautet der Induktionsanfang mit n=1:
>
> [mm]sin1x\le1sinx[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
> sinx [mm]\le[/mm] sinx
> Damit ist dieser wahr.
>
> Es folgt der Induktionsschritt :
>
> Ich gehe davon aus, die Aussage sei wahr für ein [mm]k\in\IN.[/mm]
> Dann gilt [mm]sinkx\leksinx.[/mm]
> Für (k+1) gilt nun [mm]sin(k+1)x\le(k+1)sinx.[/mm]
>
> Nun kommt der Punkt, an dem ich nicht wirklich
> weiterkomme.
> Ich bin auf die Idee gekommen, dass der Beweis folgender
> Ungleichungskette eigendlich ausreichen müsste :
> sin(k+1)x [mm]\le[/mm] sinkx [mm]\le[/mm] (k+1)sinx.
Die este Ungleichung ist für k=1 und x= [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] falsch !
> Wie ich das aber machen soll ist mir unklar.
> Zudem ist mir nicht klar, wie ich mit der Angabe 0 [mm]\le[/mm] x
> [mm]\le \bruch{\pi}{2}[/mm] umgehen soll.
> Wie ich gar den Lösungshinweis einbauen kann ist mir
> gänzlich unklar.
>
> Es würde mich freuen, wenn sich jemand findet, um mir zu
> erklären, wie man diese Aufgabe löst/angeht.
Wenn Du das mit Induktion machst, hast Du ohne das Additionstheorem für den Sinus wohl kaum eine Chance !
Also: Induktionsvoraussetzung: mit einem k [mm] \in \IN [/mm] gilt
(*) $sin(kx) [mm] \le [/mm] k sin(x)$ für alle $x [mm] \in [/mm] [0, [mm] \bruch{\pi}{2}]$
[/mm]
Dann:
$sin((k+1)x)=sin(kx)cos(x)+cos(kx)sin(x)$
Jetzt (*) und der 2. Teil des Hinweises.
FRED
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Hallo, danke für diese Hilfestellung.
Zitat:
> Merkwürdig ! Lautet das im Original wirklich so ?
Ja, so steht es im Buch. Aber in den englischsprachigen Diskusionsforen wird stellenweise von Fehlern im Buch berichtet.
Ich werde nun einfach einmal aufführen, wie weit ich dank deiner Hilfe gekommen bin:
Mein Induktionsanfang lautet für n=1 und x [mm] \in [0;\bruch{\pi}{2}]:
[/mm]
sin1x [mm] \le [/mm] 1*sinx
[mm] \gdw
[/mm]
sinx [mm] \le [/mm] sinx.
Nun komme ich zum Induktionsschritt mit einem k [mm] \in \IN [/mm] und x [mm] \in[0;\bruch{\pi}{2}]:
[/mm]
sin (kx) [mm] \le [/mm] k*sin(x).
Für (k+1) gilt dann
sin ((k+1)x)) [mm] \le [/mm] (k+1)sin(x)
Wegen des Additionstheorems des Sinus gilt nun :
sin ((k+1)x) = sin(kx)*cos(x)+cos(kx)*sin(x).
Daher lässt sich der linke Teil der Ungleichung sin ((k+1)x)) [mm] \le [/mm] (k+1)sin(x)
durch sin(kx)*cos(x)+cos(kx)*sin(x) substituieren, und ich bekomme die Ungleichung :
sin(kx)*cos(x)+cos(kx)*sin(x) [mm] \le [/mm] (k+1)sin (x)
So, der nächste vorgeschlagene Schritt ist nun die Beachtung des Hinweises ( -1 [mm] \le cosx\le1).
[/mm]
Ich muss zugeben, dass ich jetzt schon eine Stunde darüber nachdenke, wie ich dies einbringen kann. Villeicht kann mir an dieser Stelle nocheinmal jemand unter die Arme greifen.
Grüße und vielen Dank im voraus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:45 Di 02.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> s.o.
> Hallo, danke für diese Hilfestellung.
>
> Zitat:
> > Merkwürdig ! Lautet das im Original wirklich so ?
> Ja, so steht es im Buch. Aber in den englischsprachigen
> Diskusionsforen wird stellenweise von Fehlern im Buch
> berichtet.
>
> Ich werde nun einfach einmal aufführen, wie weit ich dank
> deiner Hilfe gekommen bin:
>
> Mein Induktionsanfang lautet für n=1 und x [mm]\in [0;\bruch{\pi}{2}]:[/mm]
>
> sin1x [mm]\le[/mm] 1*sinx
> [mm]\gdw[/mm]
> sinx [mm]\le[/mm] sinx.
>
> Nun komme ich zum Induktionsschritt mit einem k [mm]\in \IN[/mm] und
> x [mm]\in[0;\bruch{\pi}{2}]:[/mm]
> sin (kx) [mm]\le[/mm] k*sin(x).
> Für (k+1) gilt dann
> sin ((k+1)x)) [mm]\le[/mm] (k+1)sin(x)
Das ist zu zeigen !!!!!
>
> Wegen des Additionstheorems des Sinus gilt nun :
> sin ((k+1)x) = sin(kx)*cos(x)+cos(kx)*sin(x).
>
> Daher lässt sich der linke Teil der Ungleichung sin
> ((k+1)x)) [mm]\le[/mm] (k+1)sin(x)
> durch sin(kx)*cos(x)+cos(kx)*sin(x) substituieren, und ich
> bekomme die Ungleichung :
>
> sin(kx)*cos(x)+cos(kx)*sin(x) [mm]\le[/mm] (k+1)sin (x)
> So, der nächste vorgeschlagene Schritt ist nun die
> Beachtung des Hinweises ( -1 [mm]\le cosx\le1).[/mm]
>
> Ich muss zugeben, dass ich jetzt schon eine Stunde darüber
> nachdenke, wie ich dies einbringen kann. Villeicht kann mir
> an dieser Stelle nocheinmal jemand unter die Arme greifen.
>
> Grüße und vielen Dank im voraus
>
Wir haben:
(1) $ sin ((k+1)x) = sin(kx)*cos(x)+cos(kx)*sin(x)$
und
(2) $sin(kx) [mm] \le [/mm] ksin(x).$
Im Intervall $[0, [mm] \pi/2]$ [/mm] ist cos(x) [mm] \ge [/mm] 0. Multiplizieren wir die Ungl. (2) mit cos(x) durch, so erhalten wir:
$sin(kx)cos(x) [mm] \le [/mm] ksin(x)cos(x).$
Aus (1) folgt dann
$sin ((k+1)x) [mm] \le [/mm] ksin(x)cos(x)+cos(kx)*sin(x)=sin(x)[kcos(x)+cos(kx)]$
Nun ist $kcos(x)+cos(kx) [mm] \le [/mm] k+1$
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:24 Mi 03.06.2015 | | Autor: | Windbeutel |
Ich danke dir für deine Hilfe.
Diese Aufgabe hat mir meine Lücken im Bereich der Trigonimetrie deutlich gemacht. Da werde ich mich mal wieder mit beschäftigen müssen.
Vielen Dank nochmal
Mark
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