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| Aufgabe | Seien A,B und C Mengen. Beweisen oder wiederlegen (durch Gegenbeispiel) Sie folgende Aussagen:
a) (C \ A) \ B = C \ (A [mm] \cup [/mm] B)
b) und c) wird weggelassen, da ich das selber machen will :D |
Hallo...
ich hatte heute meine zweite Vorlesung Mathe und soll nun die obige Aufgabe lösen... Mein Ansatz ist folgender, aber ich komme nicht weiter:
(C \ A) \ B = C \ (A [mm] \cup [/mm] B)
(x [mm] \in [/mm] C [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A) [mm] \wedge \not\in [/mm] B = x [mm] \in [/mm] C [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B)
Ich hätte jetzt so weiter gefolgert auf der rechten Seite:
x [mm] \in [/mm] C [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B) [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] C [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B)
womit ich ja das gleiche wie links habe. Richtig? Oder wo mache ich den Fehler?
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Hallo stekoe2000,
> Seien A,B und C Mengen. Beweisen oder wiederlegen (durch
> Gegenbeispiel) Sie folgende Aussagen:
>
> a) (C \ A) \ B = C \ (A [mm]\cup[/mm] B)
> b) und c) wird weggelassen, da ich das selber machen will
> :D
> Hallo...
>
> ich hatte heute meine zweite Vorlesung Mathe und soll nun
> die obige Aufgabe lösen... Mein Ansatz ist folgender, aber
> ich komme nicht weiter:
Kurz eine Bemerkung vorab:
Du sollst ja hier in (a) eine Mengengleichheit zeigen, [mm] $(C\setminus A)\setminus [/mm] B \ [mm] \red{=} [/mm] \ [mm] C\setminus(A\cup [/mm] B)$
Du musst also beide Teilmengenbeziehungen [mm] "\subset" [/mm] und [mm] "\supset" [/mm] zeigen, also
(1) [mm] $(C\setminus A)\setminus [/mm] B \ [mm] \subset [/mm] \ [mm] C\setminus(A\cup [/mm] B)$
und
(2) [mm] $(C\setminus A)\setminus [/mm] B \ [mm] \supset [/mm] \ [mm] C\setminus(A\cup [/mm] B)$, also [mm] $C\setminus(A\cup [/mm] B) \ [mm] \subset [/mm] \ [mm] (C\setminus A)\setminus [/mm] B$
Du zeigst im Weiteren (1):
Wenn du allsamt Äquivalenzumformungen machst, kannst du natürlich beide Richtungen auf einmal zeigen, aber gerade zu Beginn des Studiums würde ich eine ganz penible Aufdröselung empfehlen, zumal Äquivalenzumformungen oft nicht selbstverständlich sind und begründet werden sollten ...
[mm] \red{\text{zu zeigen}}: $(C\setminus A)\setminus [/mm] B = C [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$
[mm] \red{\text{Sei} \ x\in(C\setminus A)\setminus B}
[/mm]
> [mm] $(x\in C\wedge x\not\in [/mm] A) [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B = x [mm] \in [/mm] C [mm] \wedge \red{x\notin (x\in A\wedge x\in B)}$ [/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Was bedeutet das Rote?
Hier gehst du von der Mengenebene auf die Elementebene (Ebene der Aussagenlogik), da kann und darf also kein "=" dazwischen stehen, was soll das bedeuten?
Mengen können gleich sein, aber Aussagen sind höchstens äquivalent
Wenn, dann muss da für deinen Weg also ein [mm] "\gdw" [/mm] hin
> [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] (x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] B)
>
> Ich hätte jetzt so weiter gefolgert auf der rechten Seite:
>
> x [mm]\in[/mm] C [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] (x [mm]\in[/mm] A [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] B) [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm]
was steht hier? Lies mal laut!
> C [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] B)
>
> womit ich ja das gleiche wie links habe. Richtig? Oder wo
> mache ich den Fehler?
Ich schreibe dir nochmal das "Schema" hin und zeige formal genau die eine Richtung, du versuchst dich dann an der anderen Richting, ok?
Beh.: [mm] $(C\setminus A)\setminus [/mm] B \ [mm] \red{=} [/mm] \ [mm] C\setminus(A\cup [/mm] B)$
gleichbedeutend:
(1) [mm] $(C\setminus A)\setminus [/mm] B \ [mm] \subset [/mm] \ [mm] C\setminus(A\cup [/mm] B)$
(2) [mm] $(C\setminus A)\setminus [/mm] B \ [mm] \supset [/mm] \ [mm] C\setminus(A\cup [/mm] B)$, also [mm] $C\setminus(A\cup [/mm] B) \ [mm] \subset [/mm] \ [mm] (C\setminus A)\setminus [/mm] B$
zu zeigen ist in (1): [mm] $(C\setminus A)\setminus [/mm] B \ [mm] \subset [/mm] \ [mm] C\setminus(A\cup [/mm] B)$
Also: [mm] $\blue{x\in\left((C\setminus A)\setminus B\right) \ \Rightarrow \ x\in\left(C\setminus(A\cup B)\right)}$
[/mm]
So ist ja [mm] "\subset" [/mm] definiert
Sei also [mm] $\blue{x\in\left((C\setminus A)\setminus B\right)}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x\in(C\setminus [/mm] A) \ [mm] \wedge x\notin [/mm] B$
nach Def. Differenzmenge
[mm] $\Rightarrow (x\in C\wedge x\notin [/mm] A) \ [mm] \wedge x\notin [/mm] B$
nochmal Def. Diff.menge
[mm] $\Rightarrow x\in [/mm] C [mm] \wedge (x\notin A\wedge x\notin [/mm] B)$
Assoziativität
[mm] $\Rightarrow x\in [/mm] C \ [mm] \wedge \neg(x\in A\vee x\in [/mm] B)$
Denn [mm] $\neg (p\vee q)\equiv \neg p\wedge\neg [/mm] q$
[mm] $\blue{\Rightarrow x\in C\setminus(A\cup B)}$
[/mm]
Ich habe es bewußt kleinschrittig und möglichst genau gemacht, ich halte das gerade zu Beginn des Studiums für wichtig
Versuche dich mal an (2)
LG
schachuzipus
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