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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:35 Do 08.10.2009 | | Autor: | Steirer |
| Aufgabe | Welche der folgenden Aussagen sind allgemeingültig? Geben Sie für wahre Aussagen einen Beweis und zu falschen Aussagen ein Gegenbeispiel an.
a) [mm] (A\setminus B)\setminus [/mm] C = A [mm] \setminus [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)
b) [mm] (A\setminus B)\setminus [/mm] C = A [mm] \setminus [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] C) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe durch Aufzeichnen der Mengen herausgefunden das a) wahr ist und b) falsch.
Wie beweise ich a) ?
Und welche Gegenbeispiel nehme ich am besten bei b) ?
Kann mir jemand bitte eine Hilfestellung geben?
Danke
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Hallo Steirer,
> Welche der folgenden Aussagen sind allgemeingültig? Geben
> Sie für wahre Aussagen einen Beweis und zu falschen
> Aussagen ein Gegenbeispiel an.
>
> a) [mm](A\setminus B)\setminus[/mm] C = A [mm]\setminus[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C)
> b) [mm](A\setminus B)\setminus[/mm] C = A [mm]\setminus[/mm] (B [mm]\setminus[/mm]
> C)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Ich habe durch Aufzeichnen der Mengen herausgefunden das a)
> wahr ist und b) falsch.
>
> Wie beweise ich a) ?
Nun es ist eine Mengengleichheit zu zeigen, zeige also beide Teilmengenbeziehungen, dh. zeige
(1) [mm] $(A\setminus B)\setminus C\subset A\setminus(B\cup [/mm] C)$
und
(2) [mm] $A\setminus(B\cup C)\subset (A\setminus B)\setminus [/mm] C$
Halte dich dabei an die Definition der Differenzmenge.
Ich mache mal (1), dann siehst du's:
Sei [mm] $x\in (A\setminus B)\setminus [/mm] C$
zu zeigen ist dann [mm] $x\in A\setminus(B\cup [/mm] C)$
ok, [mm] $x\in (A\setminus B)\setminus C\Rightarrow x\in (A\setminus B)\wedge x\notin [/mm] C$ nach Definition [mm] "\setminus"
[/mm]
[mm] $\Rightarrow (x\in A\wedge x\notin B)\wedge x\notin [/mm] C$ wieder nach derselben Def.
[mm] $\Rightarrow x\in A\wedge (x\notin B\wedge x\notin [/mm] C)$
Klar, oder?
[mm] $\Rightarrow x\in A\wedge x\notin (B\cup [/mm] C)$
Preisfrage: warum?
[mm] $\Rightarrow x\in A\setminus (B\cup [/mm] C)$ nach Def. [mm] "\setminus"
[/mm]
Begründe mal die Lücke und versuche die andere Richtung (2)
> Und welche Gegenbeispiel nehme ich am besten bei b) ?
Da gibt's kein bestes 
Nimm dir mal ein paar zwei- oder einelementige Mengen und bastel ein bisschen rum, probiere was mit $A=C$ ...
Ich will mal nicht alles verraten, es soll ja ne Übung sein ...
Also mache mal den Beweis in (a) zuende und überlege dir ein Gegenbsp. zu (b)
Falls du gar nichts findest, frage nochmal nach, aber sage dann, was du alles überlegt hast!
>
> Kann mir jemand bitte eine Hilfestellung geben?
> Danke
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:17 Fr 09.10.2009 | | Autor: | Steirer |
> Klar, oder?
>
Ja jetzt schon :)
> [mm]\Rightarrow x\in A\wedge x\notin (B\cup C)[/mm]
>
> Preisfrage: warum?
Du hast einfach die De Morgan Regel angewand oder?
>
> [mm]\Rightarrow x\in A\setminus (B\cup C)[/mm] nach Def.
> [mm]"\setminus"[/mm]
>
> Begründe mal die Lücke und versuche die andere Richtung
> (2)
>
$ [mm] A\setminus(B\cup C)\subset (A\setminus B)\setminus [/mm] C $
$ [mm] \Rightarrow x\in A\setminus (B\cup [/mm] C) $
$ [mm] \Rightarrow x\in [/mm] A [mm] \wedge x\notin (B\cup [/mm] C)$
$ [mm] \Rightarrow x\in [/mm] A [mm] \wedge (x\notin B\wedge x\notin [/mm] C) $
$ [mm] \Rightarrow (x\in [/mm] A [mm] \wedge x\notin B)\wedge x\notin [/mm] C $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] (A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \wedge x\notin [/mm] C)$
$ [mm] \Rightarrow [/mm] (A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \setminus [/mm] C$
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> > [mm]\Rightarrow x\in A\wedge x\notin (B\cup C)[/mm]
> >
> > Preisfrage: warum?
>
> Du hast einfach die De Morgan Regel angewand oder?
Ja.
>
> >
> > [mm]\Rightarrow x\in A\setminus (B\cup C)[/mm] nach Def.
> > [mm]"\setminus"[/mm]
> >
> > Begründe mal die Lücke und versuche die andere Richtung
> > (2)
> >
Zu zeigen:
> [mm]A\setminus(B\cup C)\subset (A\setminus B)\setminus C[/mm]
>
Sei
> [mm] x\in A\setminus (B\cup [/mm] C)[/mm]
> [mm]\Rightarrow x\in A \wedge x\notin (B\cup C)[/mm]
> [mm]\Rightarrow x\in A \wedge (x\notin B\wedge x\notin C)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow (x\in A \wedge x\notin B)\wedge x\notin C[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow (A \setminus B) \wedge x\notin C)[/mm]
> [mm]\Rightarrow (A \setminus B) \setminus C[/mm]
Genau.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:59 Fr 09.10.2009 | | Autor: | Steirer |
Mir ist nicht klar was unter dem Begriff "Gegenbeispiel" erwartet wird.
Kann mir jemand einen Tipp geben?
Danke
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Hallo Steirer!
ich vermute, dass hier erwartet wird, eine falsche Aussage durch das Gegenbeispiel einer wahren Aussage zu verdeutlichen.
Ich stell die Frage dennoch auf teilweise beantwortet.
Viele Grüße
ChopSuey
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> Mir ist nicht klar was unter dem Begriff "Gegenbeispiel"
> erwartet wird.
Hallo,
als Gegenbeispiel wird etwas ganz Konkretes erwartet.
Du gibst also konkrete Mengen A, B, C an und zeigst an diesem Beispiel, daß die Aussage nicht gilt.
"Konkret" wäre z.B. sowas: [mm] A:=\{1,2,3\}, A:=\{ Katze, Schwein \}, A:=\IR [/mm] \ [mm] \IN.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:04 Fr 09.10.2009 | | Autor: | Steirer |
| Aufgabe | Welche der folgenden Aussagen sind allgemeingültig? Geben Sie für wahre Aussagen einen Beweis und zu falschen Aussagen ein Gegenbeispiel an.
$ [mm] (A\setminus B)\setminus [/mm] C = [mm] (A\setminus C)\setminus (B\setminus [/mm] C)$ |
Diese Gleichung ist wahr.
Ich habe versucht nach dem Schema von vorhin auf einen grünen Zweig zu kommen bin aber leider gescheitert. Vieleicht kann mir einer einen Tipp geben wie das funktionieren soll.
Danke.
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> Welche der folgenden Aussagen sind allgemeingültig? Geben
> Sie für wahre Aussagen einen Beweis und zu falschen
> Aussagen ein Gegenbeispiel an.
>
> [mm](A\setminus B)\setminus C = (A\setminus C)\setminus (B\setminus C)[/mm]
>
> Diese Gleichung ist wahr.
>
> Ich habe versucht nach dem Schema von vorhin auf einen
> grünen Zweig zu kommen bin aber leider gescheitert.
Hallo,
laß uns Zeuge Deines Scheiterns werden...
Zeig mal, wwas Du getan hast, wie weit Du gekommen bist, und formuliere, an welcher Stelle Du warum nicht weiterkommst.
> Vieleicht kann mir einer einen Tipp geben wie das
> funktionieren soll.
Wenn wir sehen, was Du getan hast, können wir sinnvollere Tips geben - und sparen vielleicht noch Schreibarbeit.
Manchmal sind's nur Kleinigkeiten.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:27 Fr 09.10.2009 | | Autor: | Steirer |
Ok es ist leider nicht viel:
$ [mm] (A\setminus B)\setminus [/mm] C = [mm] (A\setminus C)\setminus (B\setminus [/mm] C) $
ich habe versucht von
[mm] $(A\setminus C)\setminus (B\setminus [/mm] C) $ auf $ [mm] (A\setminus B)\setminus [/mm] C $ zu kommen.
[mm] $(A\setminus C)\setminus (B\setminus [/mm] C) $
[mm] $\Rightarrow x\in(A \wedge x\notin [/mm] C) [mm] \wedge [/mm] (B [mm] \wedge x\notin [/mm] C) $
[mm] $\Rightarrow x\in(A \wedge x\notin [/mm] C) [mm] \wedge \notin(B \wedge x\notin [/mm] C)$
[mm] $\Rightarrow x\in(A \wedge x\notin [/mm] C) [mm] \wedge (x\notin [/mm] B [mm] \vee x\in [/mm] C) $
so nun würde ich einen Tipp benötigen um die 2Klammerausdrücke irgendwie aufzulösen oder dergleichen.
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> Ok es ist leider nicht viel:
>
> [mm](A\setminus B)\setminus C = (A\setminus C)\setminus (B\setminus C)[/mm]
>
> ich habe versucht von
> [mm](A\setminus C)\setminus (B\setminus C)[/mm] auf [mm](A\setminus B)\setminus C[/mm]
> zu kommen.
>
[mm] x\in
[/mm]
> [mm](A\setminus C)\setminus (B\setminus C)[/mm]
> [mm]\Rightarrow x\in(A \wedge x\notin C) \wedge (B \wedge x\notin C)[/mm]
Hallo,
Du mußt etwas aufpassen:
Sowas: (A [mm] \wedge x\notin [/mm] C) ist sinnlos, denn Du verknüpfst hier eine Menge (A) mit einer Aussage [mm] (x\not\in [/mm] C).
"Die Menge A außerdem ist x ist kein Element von C" ist sinnlos.
Sowas zieht sich durch, und das verwirrt.
Richtig wäre
[mm] x\in
[/mm]
> [mm](A\setminus C)\setminus (B\setminus C)[/mm]
==> [mm] x\in (A\setminus [/mm] C) und [mm] x\not\in (B\setminus [/mm] C)
Vielleicht kommst Du jetzt so weiter
[mm] \neg{a}
[/mm]
==> [mm] x\in (A\setminus [/mm] C) und [mm] \neg(x\in(B\setminus [/mm] C))
==> [mm] (x\in [/mm] Aund [mm] x\notin [/mm] C) und [mm] \neg(x\in [/mm] B und [mm] x\notin [/mm] C)
==> [mm] (x\in [/mm] A und [mm] x\notin [/mm] C) und [mm] (x\notin [/mm] B oder [mm] x\in [/mm] C)
Bis hierher hattest Du das auch so sagen wollen, bloß nicht richtig aufgeschrieben.
Jetzt kommt's Distributivgesetz:
==> [ [mm] (x\in [/mm] A und [mm] x\notin [/mm] C) und [mm] x\notin [/mm] B] oder [ [mm] (x\in [/mm] A und [mm] x\notin [/mm] C) und [mm] x\in [/mm] C]
Nun versuch mal weiter.
Gruß v. Angela
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