Beweisen mit Vektoren < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:32 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Kathinka |
| Aufgabe | | Hält man ein Gummiband um vier Finger gespannt entsteht ein "Viereck im Raum", also ein Viereck, dessen Ecken nicht alle in einer Ebene liegen. Beweisen sie: Die Seitenmitten dieses Vierecks sind die Eckpunkte eines Parallelogramms. |
Ahoi!
Ich habe die Aufgabe mit Vektoren bewiesen, leider muss irgendwo ein Fehler sein, wäre schön wenn mal jemand drüberschauen würde.
Parallelogramm ABCD, Mittelpunkte [mm] M_{AB}, M_{BC}, M_{CD}, M_{DA}
[/mm]
zu zeigen: die gegenüberliegenden Seiten sind parallel:
1/2 [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] + 1/2 [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] = [mm] \overrightarrow M_{AB}M_{BC}
[/mm]
1/2 [mm] \overrightarrow{CD} [/mm] + 1/2 [mm] \overrightarrow{DA} [/mm] = [mm] \overrightarrow M_{CD}M_{DA}
[/mm]
Linke Seiten: 1/2 ausklammern, Vektoren/Punkte ausrechnen:
1/2 [mm] \overrightarrow{B} [/mm] - [mm] \overrightarrow{A} [/mm] + [mm] \overrightarrow{C} [/mm] - [mm] \overrightarrow{B}
[/mm]
1/2 [mm] \overrightarrow{D} [/mm] - [mm] \overrightarrow{C} [/mm] + [mm] \overrightarrow{A} [/mm] - [mm] \overrightarrow{D}
[/mm]
B und D fallen somit weg, bleibt übrig:
1/2 ( -A + C) = 1/2 ( -C + A)
Wo liegt der Denkfehler?
Liebe Grüße, Katja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Pappus |
> Hält man ein Gummiband um vier Finger gespannt entsteht
> ein "Viereck im Raum", also ein Viereck, dessen Ecken nicht
> alle in einer Ebene liegen. Beweisen sie: Die Seitenmitten
> dieses Vierecks sind die Eckpunkte eines Parallelogramms.
>
>
...
>
> B und D fallen somit weg, bleibt übrig:
> 1/2 ( -A + C) = 1/2 ( -C + A)
>
> Wo liegt der Denkfehler?
> Liebe Grüße, Katja
>
Guten Tag!
Wo der Denkfehler liegt, weiß ich nicht. Du bist genau einen Schritt vor dem Ziel stehen geblieben:
[mm] $\frac12 [/mm] ( -A + C) = [mm] \frac12 [/mm] ( -C + A) = [mm] -\frac12(-A+C)$
[/mm]
d.h. die beiden Vektoren sind kollinear, laufen also parallel, womit die Parallelität von 2 Seiten nachgewiesen ist.
Jetzt noch die fehlende Bedingung für das Parallelogramm nachweisen.
Gruß
Pappus
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