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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 Di 30.10.2012 | | Autor: | oneup2 |
| Aufgabe | Beweisen Sie: In einem Ring gilt stets
(-a) * (-b) = a * b |
Liebe Community,
leider weiß ich nicht wie ich vorgehen soll und wäre über jede Hilfe dankbar.
liebe grüße.
Bemerk: * soll nicht mal darstellen, sondern eine Verknüpfung
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:22 Di 30.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweisen Sie: In einem Ring gilt stets
>
> (-a) * (-b) = a * b
> Liebe Community,
>
> leider weiß ich nicht wie ich vorgehen soll und wäre
> über jede Hilfe dankbar.
weil [mm] $0*a=(0+0)*a=0*a+0*a\,$ [/mm] gilt (auch gilt [mm] $a*0=a*(0+0)=a*0+a*0\,$)
[/mm]
- man rechnet hier eigentlich genauso wie mit "Plus und Mal", auch, wenn
die Verknüpfungen ein "abstrakteres Symbol" haben - mach' Dir das klar,
denn das vorgerechnete folgt aus den Regeln in einem Ring! -
gilt für alle $a [mm] \in [/mm] R$ dann [mm] $0*a=0\,$ [/mm] (und auch [mm] $a*0=0\,$), [/mm] wobei
[mm] $0\,$ [/mm] das "additiv neutrale Element" ist - denn [mm] ($R,\,+$) [/mm] ist ja eine
(abelsche) Gruppe und hat solch' ein Element [mm] $0\,$ [/mm] inne.
Es folgt für alle [mm] $a,\tilde{b} \in [/mm] R$
[mm] $$0=0*\tilde{b}=(a+(-a))*\tilde{b}=a*\tilde{b}+(-a)*\tilde{b}\,$$
[/mm]
und damit [mm] $-(a*\tilde{b})=(-a)*\tilde{b}\,.$
[/mm]
Somit gilt für alle $a,b [mm] \in [/mm] R$ (benutze obiges mit [mm] $\tilde{b}=-b$)
[/mm]
[mm] $$(-a)*(-b)-a*b=(-a)*(-b)+(-(a*b))=(-a)*(-b)+((-a)*b)=...\,$$
[/mm]
Rechne halt zu Ende und folgere dann die Behauptung.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:33 Di 30.10.2012 | | Autor: | oneup2 |
Du hast mir wirklich ziemlich weitergeholfen. Mir ist auch alles schlüssig.
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:54 Di 30.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Du hast mir wirklich ziemlich weitergeholfen. Mir ist auch
> alles schlüssig.
ich habe auch nochmal ein bisschen "spicken" müssen:
Falls Du mal in die Bib gehst: "Algebra - von Meyberg, Karpfinger" hilft bei
sowas ziemlich gut. In Bosch's Algebra fand' ich da keine
Beweishinweise/Ideen, die für Deine Aufgabe gepasst hätten.
Gruß,
Marcel
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