Beweise zur Abzählbarkeit < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie die folgenden Behauptungen:
(1) Teilmengen abzählbarer Mengen sind abzählbar.
(2) Ist n eine natürliche Zahl [mm] \ge [/mm] 2, dann gilt [mm] \underbrace{\IN\times\ldots\times\IN}_{n-mal}\approx\IN.
[/mm]
(3) Sind [mm] A_{1},\ldots,A_{n} [/mm] abzählbar, dann ist [mm] A_{1}\times\ldots\times A_{n} [/mm] abzählbar. |
Zu 1. Habe ich mir folgendes gedacht:
Sei M ein beliebige abzählbare Menge und [mm] P\subseteq [/mm] M.
Eine Menge M ist abzählbar, wennn eine Injektion f: [mm] M\to\IN [/mm] mit [mm] x\mapstof(x) [/mm] existiert. Daher, für alle [mm] n\in\IN [/mm] existiert höchstens ein [mm] m\inM [/mm] oder für alle [mm] m_{1},m_{2}\inM [/mm] gilt [mm] f(m_{1})\not=f(m_{2}). [/mm] Da für alle [mm] p\inP [/mm] gilt [mm] p\inM [/mm] haben auch alle Elemente in P die Eigenschaften aus M und somit gilt auch für alle [mm] p_{1},p_{2}\inP [/mm] gilt [mm] f(p_{1})\not=f(p_{2}).
[/mm]
Reicht das, bzw. ist das so korrekt?
zu 2. fehlt mir der Ansatz
und zu 3:
Für 2 Mengen M und N gilt: Sind M und N abzählbar, so ist auch [mm] M\timesN [/mm] abzählbar. Aber das wird als Beweis wohl nicht ausreichen, um die Aufgabe zu beweisen.
Kann mir da jemand weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:44 Sa 08.11.2008 | | Autor: | abakus |
> Beweisen Sie die folgenden Behauptungen:
> (1) Teilmengen abzählbarer Mengen sind abzählbar.
> (2) Ist n eine natürliche Zahl [mm]\ge[/mm] 2, dann gilt
> [mm]\underbrace{\IN\times\ldots\times\IN}_{n-mal}\approx\IN.[/mm]
> (3) Sind [mm]A_{1},\ldots,A_{n}[/mm] abzählbar, dann ist
> [mm]A_{1}\times\ldots\times A_{n}[/mm] abzählbar.
> Zu 1. Habe ich mir folgendes gedacht:
>
> Sei M ein beliebige abzählbare Menge und [mm]P\subseteq[/mm] M.
> Eine Menge M ist abzählbar, wennn eine Injektion f:
> [mm]M\to\IN[/mm] mit [mm]x\mapstof(x)[/mm] existiert. Daher, für alle [mm]n\in\IN[/mm]
> existiert höchstens ein [mm]m\inM[/mm] oder für alle [mm]m_{1},m_{2}\inM[/mm]
> gilt [mm]f(m_{1})\not=f(m_{2}).[/mm] Da für alle [mm]p\inP[/mm] gilt [mm]p\inM[/mm]
> haben auch alle Elemente in P die Eigenschaften aus M und
> somit gilt auch für alle [mm]p_{1},p_{2}\inP[/mm] gilt
> [mm]f(p_{1})\not=f(p_{2}).[/mm]
> Reicht das, bzw. ist das so korrekt?
>
> zu 2. fehlt mir der Ansatz
Sagt dir das Cantorsche Diagonalisierungsverfahren etwas? Damit zeigst du zunächst, dass
[mm] \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] auf [mm] \IN [/mm] abgebildet werden kann. (Rest mit vollständiger Induktion.)
Gruß Abakus
>
> und zu 3:
> Für 2 Mengen M und N gilt: Sind M und N abzählbar, so ist
> auch [mm]M\timesN[/mm] abzählbar. Aber das wird als Beweis wohl
> nicht ausreichen, um die Aufgabe zu beweisen.
>
> Kann mir da jemand weiterhelfen?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:13 Sa 08.11.2008 | | Autor: | GamboJames |
Ah ok das hilft mir erstmal weiter bei 2. Ich werde es mal damit versuchen
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