Beweise zu linearen Abb < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Seien $F$ ein Körper und X, Y zwei $F$-lineare Räume mit [mm] $dim_FX=n\in\mathbb{N}$ [/mm] und [mm] $dim_FY=m\in\mathbb{N}$. \\
[/mm]
Zeigen [mm] Sie:\\
[/mm]
a) Es gibt genau dann eine injektive $F$-lineare Abbildung [mm] $f:X\rightarrow [/mm] Y$, [mm] \\
[/mm]
wenn [mm] $n\leq [/mm] m$. |
Hi, also ich wollt mal fragen ob das richtig ist.
a)
Es gibt eine injektive $F$-lineare Abbildung [mm] $f:X\rightarrow [/mm] Y$ [mm] $\iff$ $n\leq m$\\
[/mm]
[mm] "$\Rightarrow$"\\
[/mm]
Definition "injektiv": [mm] \\
[/mm]
Zu jedem [mm] $y\in [/mm] Y$ existiert höchstens ein [mm] $x\in [/mm] X$ mit [mm] $f(x)=y$.\\
[/mm]
Sei [mm] $f:X\rightarrow [/mm] Y$ eine injektive [mm] Abbildung.\\
[/mm]
Sei [mm] $n>m$.\\
[/mm]
Durch 2.2.1 wissen wir, dass [mm] $N(f)=\{0\}$ ist.\\
[/mm]
[mm] $dim_FX=dim_FR(f)+dim_FN(f)$\\
[/mm]
Also: [mm] $n=dim_FR(f)+0$\\
[/mm]
Somit muss auch [mm] $dim_FY\geq [/mm] n$ [mm] sein.\\
[/mm]
Dies würde implizieren, dass [mm] $m\geq [/mm] n$ [mm] ist.\\
[/mm]
Was im Widerspruch zu unserer Annahme steht, dass [mm] $n>m$.\\
[/mm]
Somit muss [mm] $n\leq [/mm] m$ wahr [mm] sein.\\
[/mm]
Ist natürlich nur die eine Richtung ich weiß, aber irgendwie fehlt mir die Begründung, dass [mm] $dim_FY\geq dim_F [/mm] R(f)$ sein muss.
(R(f)=Bild(f))
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:50 Sa 18.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]F[/mm] ein Körper und X, Y zwei [mm]F[/mm]-lineare Räume mit
> [mm]dim_FX=n\in\mathbb{N}[/mm] und [mm]dim_FY=m\in\mathbb{N}[/mm]. [mm]\\[/mm]
> Zeigen [mm]Sie:\\[/mm]
> a) Es gibt genau dann eine injektive [mm]F[/mm]-lineare Abbildung
> [mm]f:X\rightarrow Y[/mm], [mm]\\[/mm]
> wenn [mm]n\leq m[/mm].
>
>
> Hi, also ich wollt mal fragen ob das richtig ist.
>
> a)
> Es gibt eine injektive [mm]F[/mm]-lineare Abbildung [mm]f:X\rightarrow Y[/mm]
> [mm]\iff[/mm] [mm]n\leq m[/mm][mm] \\[/mm]
> "[mm]\Rightarrow[/mm][mm] "\\[/mm]
> Definition "injektiv":
> [mm]\\[/mm]
> Zu jedem [mm]y\in Y[/mm] existiert höchstens ein [mm]x\in X[/mm] mit [mm]f(x)=y[/mm][mm] .\\[/mm]
>
> Sei [mm]f:X\rightarrow Y[/mm] eine injektive [mm]Abbildung.\\[/mm]
> Sei [mm]n>m[/mm][mm] .\\[/mm]
> Durch 2.2.1 wissen wir, dass [mm]N(f)=\{0\}[/mm]
> [mm]ist.\\[/mm]
> [mm]dim_FX=dim_FR(f)+dim_FN(f)[/mm][mm] \\[/mm]
> Also: [mm]n=dim_FR(f)+0[/mm][mm] \\[/mm]
>
> Somit muss auch [mm]dim_FY\geq n[/mm] [mm]sein.\\[/mm]
> Dies würde implizieren, dass [mm]m\geq n[/mm] [mm]ist.\\[/mm]
> Was im Widerspruch zu unserer Annahme steht, dass [mm]n>m[/mm][mm] .\\[/mm]
>
> Somit muss [mm]n\leq m[/mm] wahr [mm]sein.\\[/mm]
>
> Ist natürlich nur die eine Richtung ich weiß, aber
> irgendwie fehlt mir die Begründung, dass [mm]dim_FY\geq dim_F R(f)[/mm]
> sein muss.
R(f) ist doch ein Unterraum von Y !
FRED
>
> (R(f)=Bild(f))
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | | b) Es gibt genau dann eine surjektive F-lineare Abbildung [mm] f:X\rightarrow [/mm] Y, wenn [mm] n\geq [/mm] m. |
Es gibt eine surjektive $F$-lineare Abbildung [mm] $f:X\rightarrow [/mm] Y [mm] \iff n\geq m$\\
[/mm]
[mm] "$\Rightarrow$" \\
[/mm]
Sei [mm] $f:X\rightarrow [/mm] Y$ surjektive $F$-lineare [mm] Abbildung.\\
[/mm]
Durch 2.2.1 wissen wir, dass $R(f)=Y$ [mm] ist.\\
[/mm]
Daher ist [mm] $dim_FY=dim_FX-dim_FN(f)$.\\
[/mm]
Oder anders ausgedrückt [mm] $m=n-dim_FN(f)$.\\
[/mm]
Da es keine negativen Dimensionen gibt, muss also, da N(f) auch nur [mm] $\{0\}$ [/mm] sein könnte, [mm] $m\leq [/mm] n$ [mm] sein.\\\\
[/mm]
[mm] "$\Leftarrow$"\\
[/mm]
Sei [mm] $n\geq [/mm] m$.
Bei der anderen Richtung weiß ich nicht weiter, ich würde halt nun eine surjektive Funktion zusammenbasteln.
Bei a) habe ich die Transformation [mm] Tx_i=y_i [/mm] benutzt.
Was nehm ich nun hier?
|
|
|
| |
|
> b) Es gibt genau dann eine surjektive F-lineare Abbildung
> [mm]f:X\rightarrow[/mm] Y, wenn [mm]n\geq[/mm] m.
> Es gibt eine surjektive [mm]F[/mm]-lineare Abbildung [mm]f:X\rightarrow Y \iff n\geq m[/mm][mm] \\[/mm]
>
> "[mm]\Rightarrow[/mm]" [mm]\\[/mm]
> Sei [mm]f:X\rightarrow Y[/mm] surjektive [mm]F[/mm]-lineare [mm]Abbildung.\\[/mm]
> Durch 2.2.1 wissen wir, dass [mm]R(f)=Y[/mm] [mm]ist.\\[/mm]
> Daher ist [mm]dim_FY=dim_FX-dim_FN(f)[/mm][mm] .\\[/mm]
> Oder anders
> ausgedrückt [mm]m=n-dim_FN(f)[/mm][mm] .\\[/mm]
> Da es keine negativen
> Dimensionen gibt, muss also, da N(f) auch nur [mm]\{0\}[/mm] sein
> könnte, [mm]m\leq n[/mm] [mm]sein.\\\\[/mm]
> "[mm]\Leftarrow[/mm][mm] "\\[/mm]
> Sei [mm]n\geq m[/mm].
>
> Bei der anderen Richtung weiß ich nicht weiter, ich würde
> halt nun eine surjektive Funktion zusammenbasteln.
Hallo,
ja, genau. Mach das!
> Bei a) habe ich die Transformation [mm]Tx_i=y_i[/mm] benutzt.
> Was nehm ich nun hier?
Nimm eine Basis [mm] (y_1,...,y_m) [/mm] von Y und eine Basis [mm] (x_1,...,x_m, x_{m+1},...,x_n) [/mm] von X und bau Dir eine surjektive Abbildung.
LG Angela
|
|
|
|
