Beweise zu ganzen Zahlen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Di 13.11.2012 | | Autor: | Mats22 |
| Aufgabe | (1) x<y so ist [mm] x\ge [/mm] y+1
(2) es gibt kein x [mm] \in \IZ [/mm] mit y<x<y+1
(3) ist |x-y|<1 so ist x=y |
Hallo,
ich soll (1)-(3) lösen. Hab leider k.a. wie ich daran gehen soll! Vielleicht mit Anordnungsaxiomen?
Aber wiie? Wäre um jegliche Tipp's sehr dankbar!
Grüße aus dem hohen Norden!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Di 13.11.2012 | | Autor: | chrisno |
So wie 1 da steht, ist es falsch. 2 < 3 und 2 [mm] $\ge$ [/mm] 4 ist falsch.
Schreib alle Voraussetzungen hin. x und y sollen ganze Zahlen sein, stimmt das?
Auch musst Du angeben, was schon bekannt ist. Reelle Analysis, wie dieses Unterforum heißt, ist es wahrscheinlich nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Di 13.11.2012 | | Autor: | Mats22 |
Oh Tippfehler!
x<y so ist [mm] x\ley+1
[/mm]
die einzigen Angaben die gegeben sind ist das x und y ganze Zahlen sind! Und doch, es handelt sich um Aufgaben aus der Analysis 1!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:22 Di 13.11.2012 | | Autor: | Mats22 |
Ich meine x<y so ist x [mm] \le [/mm] y+1
sorry der Formeleditor ist noch nicht so meins ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Di 13.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Mats22 und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
Die 1) ist vermutlich aufgrund eines Versehens des Aufgabenstellers ziemlich einfach. Wenn eine reelle Zahl x schon <y ist, ist sie erst recht <y+1 (warum?), also insbesondere [mm] $\le [/mm] y+1$.
3) lässt sich auf 2) zurückführen. Betrachte dazu die Fälle [mm] $x\ge [/mm] y$ und $x<y$ separat.
Zu 2): Nimm an, wir haben [mm] $x,y\in\IZ$ [/mm] mit $y<x<y+1$.
Dann gilt $0=y-y<x-y<(y+1)-y=1$, also $0<z<1$ für $z:=x-y$.
Zeige [mm] $z\in\IN$.
[/mm]
Zeige, per Induktion nach n, dass für jede natürliche Zahl n gilt: [mm] $n\not=z$.
[/mm]
Beides zusammen liefert einen Widerspruch.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Mats22 |
Bei iii) wäre ja dann, falls
[mm] x\gey [/mm] 0<x-y<1
x<y 0<y-x<1
und wie lässt sich das jetzt auf ii) zurückführen?
bei ii) ist ja 0<x-y<1 das geht jedoch nicht da es keine ganze zahl zwischen 0 und 1 gibt!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:50 Mi 14.11.2012 | | Autor: | Mats22 |
x [mm] \ge [/mm] y hatte ich geschrieben beim ersten fall!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:52 Mi 14.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
EDIT: Hat sich erledigt, ich habe es nun verstanden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Mi 14.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Bei iii) wäre ja dann, falls
> [mm]x\ge y[/mm] 0<x-y<1
[mm] $0\le [/mm] x-y<1$ müsste es heißen.
> x<y 0<y-x<1
> und wie lässt sich das jetzt auf ii) zurückführen?
Etwa im ersten Fall:
Wegen [mm] $0,x-y\in\IZ$ [/mm] kann gemäß (2) nicht $0<x-y<0+1$ gelten.
Es gilt aber $x-y<1=0+1$.
Also kann nicht $0<x-y$ gelten.
Wegen [mm] $0\le [/mm] x-y$ also $0=x-y$.
Also $x=y$.
> bei ii) ist ja 0<x-y<1 das geht jedoch nicht da es keine
> ganze zahl zwischen 0 und 1 gibt!
Das stimmt. Ich glaube, genau das soll nun bewiesen werden.
Zeige dazu per Induktion nach n, dass jede natürliche Zahl n nicht echt zwischen 0 und 1 liegt. (*)
Dabei kannst du sicherlich als bekannt voraussetzen, dass jede natürliche Zahl [mm] $\ge [/mm] 0$ ist. Falls das doch nicht bekannt sein sollte, zeige vorher dies per vollständiger Induktion.
Nun angenommen, es gäbe eine ganze Zahl z echt zwischen 0 und 1. Wegen z>0 wäre dann z eine natürliche Zahl. Und als natürliche Zahl kann z gemäß (*) nicht echt zwischen 0 und 1 liegen.
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