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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Mi 20.10.2004 | | Autor: | TheKite |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
ich habe folgende Übungsaufgaben bekommen und gar keine Ahnung:
Beweisen Sie für Abbildungen f : M [mm] \to [/mm] N und g : N [mm] \to [/mm] P :
(a) Sind f und g injektiv, so ist auch (g o f) injektiv
(b) Sind f und g surjektiv, so ist auch (g o f) surjektiv
(a) Sind f und g bijektiv, so ist auch (g o f) bijektiv und es gilt (g o f)^(-1) = f^(-1) o g^(-1)
Wäre sehr dankbar für Lösungsansätze, bzw die Beweise (sind ja "nur" Einzeiler)!
MfG
Philip
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Mi 20.10.2004 | | Autor: | TheKite |
Vielen Dank ersteinmal,
also, ich habe noch ein paar Probleme mit a und b:
mir ist klar das das auch sur, bzw. injektiv sein muss. Ich habe so einen Beweis aber noch nie geführt und hab keine Ahnung wie ich Meine Gedanken diesbezüglich formulieren kann.
Zu Aufgabe c:
ich habe aber folgendes Heraus bekommen, wo ist mein Fehler?
[ [mm] f^{-1} [/mm] o [mm] g^{-1} [/mm] ] o ( g o f ) = [mm] [(f^{-1} [/mm] o [mm] g^{-1}) [/mm] o g ] o f = [mm] [f^{-1} [/mm] o (g o [mm] g^{-1})] [/mm] o f [mm] =[f^{-1} [/mm] o [mm] id_{P} [/mm] ] o f [mm] =f^{-1} [/mm] o f = [mm] id_{N}
[/mm]
MfG
Philip
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> also, ich habe noch ein paar Probleme mit a und b:
> mir ist klar das das auch sur, bzw. injektiv sein muss.
> Ich habe so einen Beweis aber noch nie geführt und hab
> keine Ahnung wie ich Meine Gedanken diesbezüglich
> formulieren kann.
Dann musst das dringend trainieren. Schreibe deine Gedanken dazu doch einfach mal auf. Wir sagen dir dann schon, ob es so okay ist oder wie man es vielleicht besser aufschreibt.
> [ [mm]f^{-1}[/mm] o [mm]g^{-1}[/mm] ] o ( g o f ) = [mm][(f^{-1}[/mm] o [mm]g^{-1})[/mm] o g ]
> o f = [mm][f^{-1}[/mm] o [mm]\red{(g o g^{-1})}][/mm] o f [mm]=[f^{-1}[/mm] o [mm]id_{P}[/mm] ] o f
> [mm]=f^{-1}[/mm] o f = [mm]id_{N}
[/mm]
Ich habe den Fehler markiert. Richtig geht es so:
[mm] $[f^{-1} \circ g^{-1}] \cdot [/mm] (g [mm] \circ [/mm] f) = [mm] [(f^{-1} \circ g^{-1}) \circ [/mm] g] [mm] \circ [/mm] f = [mm] [f^{-1} \circ (g^{-1} \circ [/mm] g)] [mm] \circ [/mm] f = [mm] [f^{-1} \circ id_N] \circ [/mm] f = [mm] f^{-1} \circ [/mm] f = [mm] id_M$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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