Beweise zu Basen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Mi 18.11.2009 | | Autor: | minze |
| Aufgabe | 1) Jedes System von linear unabhängigen Vektoren ist eine Basis.
2) Besitzt V eine Basis aus n Vektoren, so erzeugt jedes System mit mehr als n Vektoren den Vektorraum V . |
Diese Aussagen sollen entweder bewiesen oder widerlegt werden.
Ansich sind mir diese Zusammenhänge auch vollkommen klar, habe nur einige Probleme mit den Formulierungen.
Zu 1) Sicher ist jedes System von lin. unab. Vektoren EINE Basis. Nur eben keine beliebige. Z.B. spannen ja zwei linear unabhängige Vektoren den [mm] R^2 [/mm] auf, aber natürlich nicht den [mm] R^4. [/mm] Ist das auch so gemeint?
Zu 2) Nur wenn das System mit mehr als n Vektoren auch die Basis enthält, erzeugt es den Vektorraum. Kann ich von dieser Aussage ausgehen? Oder muss ich davon ausgehen, dass das System andere oder sogar gleiche Vektoren nun enthält?
Ich habe ledigleich ein Problem mit den Formulierungen, denn ich weiß nicht wie ich das interpretieren soll und somit lösen.
Danke schonmal im Voraus!
//Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 Mi 18.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> 1) Jedes System von linear unabhängigen Vektoren ist eine
> Basis.
>
> 2) Besitzt V eine Basis aus n Vektoren, so erzeugt jedes
> System mit mehr als n Vektoren den Vektorraum V .
> Diese Aussagen sollen entweder bewiesen oder widerlegt
> werden.
> Ansich sind mir diese Zusammenhänge auch vollkommen klar,
> habe nur einige Probleme mit den Formulierungen.
>
> Zu 1) Sicher ist jedes System von lin. unab. Vektoren EINE
> Basis.
Nein, das ist nicht richtig.
> Nur eben keine beliebige. Z.B. spannen ja zwei
> linear unabhängige Vektoren den [mm]R^2[/mm] auf, aber natürlich
> nicht den [mm]R^4.[/mm]
Ebendrum: eine Basis ist ein System aus l.u. Vektoren, das (per Definition) den gesamten Vektorraum aufspannt.
> Zu 2) Nur wenn das System mit mehr als n Vektoren auch die
> Basis enthält, erzeugt es den Vektorraum. Kann ich von
> dieser Aussage ausgehen?
Das ist nicht ganz richtig formuliert: ein System mit mehr als n Vektoren muss irgendeine Basis enthalten, damit es den Vektorraum erzeugt.
> Oder muss ich davon ausgehen, dass
> das System andere oder sogar gleiche Vektoren nun
> enthält?
Es ist nur gesagt, dass das System mehr als n Vektoren enthält, nicht wie sie aussehen. Es könnte sich zum Beispiel um ein System aus 4 Vektoren des [mm] $\IR^3$ [/mm] handeln, die alle in einer Ebene liegen.
Viele Grüße
Rainer
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