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| Aufgabe | Seien A,B,C [mm] \subset \IR [/mm] Mengen reeller Zahlen. Das Symbol [mm] \times [/mm] stehe für das Kartesische Produkt. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
a) A [mm] \cup [/mm] (B \ C) [mm] \subset [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) \ C |
Ich hab leider keine Ahnung wie ich da anfangen soll. Über ein paar Tipps über Herangehensweisen bei solchen Aufgaben wäre ich sehr froh. Muss ich da irgendwelche Fallunterscheidungen machen?
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Hallo!
> a) A [mm]\cup[/mm] (B \ C) [mm]\subset[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) \ C
> Ich hab leider keine Ahnung wie ich da anfangen soll.
> Über ein paar Tipps über Herangehensweisen bei solchen
> Aufgaben wäre ich sehr froh. Muss ich da irgendwelche
> Fallunterscheidungen machen?
Da in der Aufgabe nicht klar gesagt ist, ob die Aussagen wahr oder falsch sind, rate ich dir, erstmal ein Mengenbild zu malen, d.h. A, B und C sind sich überlappende Kreise, und dann prüfe die Aussage.
Wenn du denkst, dass die Aussage stimmt, musst du nun so beginnen: Du hast zu zeigen, dass die linke Menge Teilmenge der rechten Teilmenge ist. Dazu beginnt man mit
Sei [mm] $x\in [/mm] A [mm] \cup [/mm] (B [mm] \textbackslash [/mm] C)$, ...
und führt das dann mit logischen Folgerungen zu
[mm] $x\in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \textbackslash [/mm] C$.
Ich bemerke an dieser Stelle, dass ich nicht geprüft habe, ob die Aussage richtig oder falsch ist, das sollst du erstmal herausfinden, aber wenn sie richtig sein sollte, könnte dein Beweis nun so beginnen:
Sei [mm] $x\in [/mm] A [mm] \cup [/mm] (B [mm] \textbackslash [/mm] C)$, dann ist [mm] $x\in [/mm] A$ oder [mm] $x\in [/mm] (B [mm] \textbackslash [/mm] C)$. (Wenn du ein [mm] \cup [/mm] ausgewertet hast und dadurch ein "oder" entsteht, schließt sich meistens eine Fallunterscheidung an!)
Fall 1: [mm] $x\in [/mm] A$, dann ist ...
Fall 2: [mm] $x\in [/mm] (B [mm] \textbackslash [/mm] C)$, dann ist, ....
Grüße,
Stefan
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> Da in der Aufgabe nicht klar gesagt ist, ob die Aussagen
> wahr oder falsch sind, rate ich dir, erstmal ein Mengenbild
> zu malen, d.h. A, B und C sind sich überlappende Kreise,
> und dann prüfe die Aussage.
Hab ich mir auch gedacht aber die müssen gar nicht überlappend sein. Es gibt alle möglichen Kombinationen.
> Wenn du denkst, dass die Aussage stimmt, musst du nun so
> beginnen: Du hast zu zeigen, dass die linke Menge
> Teilmenge der rechten Teilmenge ist. Dazu beginnt man mit
>
> Sei [mm]x\in A \cup (B \textbackslash C)[/mm], ...
>
> und führt das dann mit logischen Folgerungen zu
Ja das ist klar.
> [mm]x\in (A \cup B) \textbackslash C[/mm].
> Sei [mm]x\in A \cup (B \textbackslash C)[/mm], dann ist [mm]x\in A[/mm] oder
> [mm]x\in (B \textbackslash C)[/mm]. (Wenn du ein [mm]\cup[/mm] ausgewertet
> hast und dadurch ein "oder" entsteht, schließt sich
> meistens eine Fallunterscheidung an!)
>
> Fall 1: [mm]x\in A[/mm], dann ist ...
>
> Fall 2: [mm]x\in (B \textbackslash C)[/mm], dann ist, ....
wieso A vereinigt mit (B ohne C) muss doch nicht unterschieden werden oder doch?
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> > Da in der Aufgabe nicht klar gesagt ist, ob die Aussagen
> > wahr oder falsch sind, rate ich dir, erstmal ein Mengenbild
> > zu malen, d.h. A, B und C sind sich überlappende Kreise,
> > und dann prüfe die Aussage.
>
> Hab ich mir auch gedacht aber die müssen gar nicht
> überlappend sein. Es gibt alle möglichen Kombinationen.
>
> > Wenn du denkst, dass die Aussage stimmt, musst du nun so
> > beginnen: Du hast zu zeigen, dass die linke Menge
> > Teilmenge der rechten Teilmenge ist. Dazu beginnt man mit
> >
> > Sei [mm]x\in A \cup (B \textbackslash C)[/mm], ...
> >
> > und führt das dann mit logischen Folgerungen zu
>
> Ja das ist klar.
>
> > [mm]x\in (A \cup B) \textbackslash C[/mm].
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> > Sei [mm]x\in A \cup (B \textbackslash C)[/mm], dann ist [mm]x\in A[/mm] oder
> > [mm]x\in (B \textbackslash C)[/mm]. (Wenn du ein [mm]\cup[/mm] ausgewertet
> > hast und dadurch ein "oder" entsteht, schließt sich
> > meistens eine Fallunterscheidung an!)
> >
> > Fall 1: [mm]x\in A[/mm], dann ist ...
> >
> > Fall 2: [mm]x\in (B \textbackslash C)[/mm], dann ist, ....
>
> wieso A vereinigt mit (B ohne C) muss doch nicht
> unterschieden werden oder doch?
Du musst hier nicht notwendigerweise eine Fallunterscheidung machen.
Was gemeint war, ist wenn du ein x aus der Vereinigung nimmst, kann dieses entweder in A liegen oder in [mm] B\backslash [/mm] C. Damit hast du zwei Fälle.
Wie abakus auch schon gesagt hat, ist vollkommen klar, dass die Aussage falsch ist. Fals es dir nicht sofort klar ist, mach dir mal eine Skizze.
Wäre das Teilmengen Zeichen andersherum hätten wir es mit einer richtigen Aussage zu tun.
Es gilt doch [mm] (A\cup B)\backslash C=(A\backslash C)\cup(B\backslash [/mm] C).
Ist also [mm] x\in [/mm] A, so kann trotzdem [mm] x\in [/mm] C gelten.
Gruß Sleeper
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:22 Di 20.10.2009 | | Autor: | abakus |
> Seien A,B,C [mm]\subset \IR[/mm] Mengen reeller Zahlen. Das Symbol
> [mm]\times[/mm] stehe für das Kartesische Produkt. Beweisen oder
> widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
>
> a) A [mm]\cup[/mm] (B \ C) [mm]\subset[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) \ C
> Ich hab leider keine Ahnung wie ich da anfangen soll.
> Über ein paar Tipps über Herangehensweisen bei solchen
> Aufgaben wäre ich sehr froh. Muss ich da irgendwelche
> Fallunterscheidungen machen?
Falls sich die Mengen A und C überschneiden, enthält der linke Term solche Elemente aus A [mm]\cup[/mm] C (wegen ihrer Zugehörigkeit zu A).
Der rechte Term schließt alle Elemente aus C aus (damit auch alle Elemente aus A [mm]\cup[/mm] C).
Es kann aber nicht sein, dass eine Teilmenge Elemente enthält, die in der umfassenderen Menge nicht drin sind.
Gruß Abakus
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