Beweise stetiger Funktionen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Mi 05.12.2012 | | Autor: | m3n7or |
| Aufgabe | Seien x, [mm] x_0, [/mm] y, [mm] y_0 [/mm] ∈ [mm] \mathbb{R} [/mm] , und sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 vorgegeben. Beweisen Sie:
Wenn
|x − [mm] x_0| [/mm] < [mm] min(1,\bruch{\varepsilon}{2(|y_0|+1)})
[/mm]
und
|y − [mm] y_0| [/mm] < [mm] \br{\varepsilon}{2(|x_0|+1)}
[/mm]
, dann gilt
|xy − [mm] x_0y_0| [/mm] < [mm] \varepsilon. [/mm] |
Hallo zusammen. Das ist eine meiner Einsendeaufgaben im 1. Semester Grundlagen der Mathematik im Informatikstudium. Ich komme da einfach nicht weiter. Mir fehlt auch irwie der Ansatz. Hatte u.a. mir |y − [mm] y_0| [/mm] < [mm] \br{\varepsilon}{2(|x_0|+1)} [/mm] näher angeschaut und auch |x − [mm] x_0| [/mm] < [mm] min(1,\bruch{\varepsilon}{2(|y_0|+1)}) [/mm]
Habe dann mal bissl herumexperimentiert um was sinnvolles
zu finden und habe jetzt:
[mm] |(y-y_0)*|x_0|+(y-y_0)| [/mm] < [mm] \bruch {\varepsilon}{2}
[/mm]
sowie:
[mm] |(x-x_0)*|x_0|+(x-x_0)| [/mm] < [mm] \bruch {\varepsilon}{2}
[/mm]
Irwie finde ich den entscheidenden Hinweis nicht. Vielleicht fällt euch ja was ein.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Mi 05.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien x, [mm]x_0,[/mm] y, [mm]y_0[/mm] ∈ [mm]\mathbb{R}[/mm] , und sei [mm]\varepsilon[/mm] >
> 0 vorgegeben. Beweisen Sie:
> Wenn
> |x − [mm]x_0|[/mm] < [mm]min(1,\bruch{\varepsilon}{2(|y_0|+1)})[/mm]
> und
> |y − [mm]y_0|[/mm] < [mm]\br{\varepsilon}{2(|x_0|+1)}[/mm]
> , dann gilt
> |xy − [mm]x_0y_0|[/mm] < [mm]\varepsilon.[/mm]
> Hallo zusammen. Das ist eine meiner Einsendeaufgaben im 1.
> Semester Grundlagen der Mathematik im Informatikstudium.
> Ich komme da einfach nicht weiter. Mir fehlt auch irwie der
> Ansatz. Hatte u.a. mir |y − [mm]y_0|[/mm] <
> [mm]\br{\varepsilon}{2(|x_0|+1)}[/mm] näher angeschaut und auch |x
> − [mm]x_0|[/mm] < [mm]min(1,\bruch{\varepsilon}{2(|y_0|+1)})[/mm]
> Habe dann mal bissl herumexperimentiert um was sinnvolles
> zu finden und habe jetzt:
> [mm]|(y-y_0)*|x_0|+(y-y_0)|[/mm] < [mm]\bruch {\varepsilon}{2}[/mm]
> sowie:
> [mm]|(x-x_0)*|x_0|+(x-x_0)|[/mm] < [mm]\bruch {\varepsilon}{2}[/mm]
schreibe bitte mal Deine Überlegungen diesbezüglich auf - diese
Ungleichungen sind aber ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , soweit ich das sehe! Ich würde sie nur
in der Form
[mm] $$|x-x_0| [/mm] < [mm] \frac{\varepsilon}{2*(|y_0|+1)}$$
[/mm]
und
[mm] $$|y-y_0| [/mm] < [mm] \frac{\varepsilon}{2*(|x_0|+1)}$$
[/mm]
stehen lassen.
Zudem gilt ja auch die Ungleichung
[mm] $$|x-x_0| [/mm] < [mm] 1\,.$$
[/mm]
> Irwie
> finde ich den entscheidenden Hinweis nicht. Vielleicht
> fällt euch ja was ein.
Es gilt (analog zum Beweis, dass das Produkt zweier konvergenter Folgen
gegen das Produkt der Grenzwerte konvergiert)
[mm] $$|xy-x_0y_0|=|(x-x_0)y+x_0(y-y_0)| \le |x-x_0|*|y|+|y-y_0|*|x_0|$$
[/mm]
gemäß der Dreiecksungleichung.
Die Abschätzung für [mm] $|y-y_0|$ [/mm] kannst Du darin sofort verwerten.
Weiter gilt mit der Voraussetzung und wieder der Dreiecksungleichung
$$|y| [mm] \le |y-y_0|+|y_0| [/mm] < [mm] \frac{\varepsilon}{2*(|x_0|+1)}+|y_0|\,,$$
[/mm]
so dass folgt
[mm] $$|x-x_0|*|y| \le |x-x_0|*\left(\frac{\varepsilon}{2*(|x_0|+1)}+|y_0|\right)$$
[/mm]
Probier mal, ob man damit zum gewünschten Ende kommt. Eventuell auch
durch Fallunterscheidung:
1. Fall: Sei [mm] $\min\{1,\;\varepsilon/(2|y_0|+2)\}=1\,,$ [/mm] dann...
2. Fall: Sei [mm] $\min\{1,\;\varepsilon/(2|y_0|+2)\}=\frac{\varepsilon}{2*(|y_0|+1)}\,,$ [/mm] dann...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Mi 05.12.2012 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier:
https://matheraum.de/read?t=932666
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 Mi 05.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hi Fred,
> Schau mal hier:
>
> https://matheraum.de/read?t=932666
ahhhh, ach toll:
Und ich habe anstatt mit
[mm] $$xy-x_0y_0=x(y-y_0)+xy_0-x_0y_0=x(y-y_0)+(x-x_0)*y_0$$
[/mm]
angefangen mit
[mm] $$xy-x_0y_0=(x-x_0)y+x_0y-x_0y_0=(x-x_0)*y+x_0*(y-y_0)\,.$$
[/mm]
Jetzt frage ich mich gerade, ob meins so eigentlich auch zum Ziel führen
kann - denn diese "Ungleichung mit dem Minimum" geht bei Dir später ein,
und ich glaube, das geht so nur direkt, wenn man so vorgeht wie Du.
Vielleicht schaue ich später aber nochmal nach, ob man mit
"Zusatzüberlegungen" meines noch retten kann...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:32 Mi 05.12.2012 | | Autor: | m3n7or |
Danke euch beiden.
Dass die Aufgabe in einem anderen Thread bereits diskutiert wurde, hat mir jetzt den entscheidenden Gedanken gegeben ;)
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