Beweise orthonormale Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:59 Mi 04.11.2009 | | Autor: | Ikit |
| Aufgabe | Eine quadratische Matrix heißt orthonormal, falls [mm] OO^{T} [/mm] = E. Man zeige:
||Oa|| = ||a|| [mm] \forall [/mm] a [mm] \in \IR^{n} [/mm] |
Hab da leider keine so gute Idee, wie ich an die Aufgabe rangehen soll. Hab schon probiert [mm] OO^{T} [/mm] = E nach O aufzulösen und das dann einzusetzen, aber das hat nicht wirklich zum Erfolg geführt.
Hat vielleicht jemand einen kleinen Tipp, wie man an diese Aufgabe rangehen soll?
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> Eine quadratische Matrix heißt orthonormal, falls [mm]OO^{T}[/mm] =
> E. Man zeige:
> ||Oa|| = ||a|| [mm]\forall[/mm] a [mm]\in \IR^{n}[/mm]
> Hab da leider keine
> so gute Idee, wie ich an die Aufgabe rangehen soll.
Hallo,
wie so oft braucht man hier gar keine Ideen, sondern man muß die Definitionen kennen.
Was bedeuten denn Deine Striche? Ich vermute sehr stark, das sie für die Vektornorm [mm] \parallel v\parallel^2:= [/mm] v^tv für alle [mm] v\in \IR^n [/mm] stehen.
So, nun stellen wir erstmal fest, daß [mm] Oa\in \IR^n.
[/mm]
Nun kommt Dienst nach Vorschrift:
[mm] \parallel Oa\parallel= [/mm] Definitionen anwenden!
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:34 Do 05.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu Angela:
$||*||$ ist die euklidische Norm auf [mm] \IR^n. [/mm] Diese hängt mit dem Skalarprodukt $<*|*>$ bekanntlich wie folgt zusammen:
[mm] $||a||^2= [/mm] <a|a>$
Berechne also [mm] $||Oa||^2= [/mm] ... $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Do 05.11.2009 | | Autor: | Ikit |
Ok ich habs mal versucht formal hinzuschreiben für eine Matrix [mm] O_{Spaltenindex * Zeilenindex} [/mm] und einen Vektor [mm] a_{Zeilenindex}:
[/mm]
[mm] ||Oa||^{2}= \summe_{j=1}^{u}(\summe_{i=1}^{k}O_{ij}*a_{i})^{2}
[/mm]
Soweit richtig oder bin ich da auf dem Holzweg? Wie geht es jetzt weiter?
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hallo,
Du machst das viel zu umständlich.
Wir hatten doch festgestellt: [mm] \parallel v\parallel =\wurzel{v^{t}v}
[/mm]
Also ist
[mm] \parallel Oa\parallel^2 =(Oa)^{t}Oa.
[/mm]
Nun besinne Dich auf die Regeln fürs Transponieren.
Was bekommst Du?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 Do 05.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> hallo,
>
> Du machst das viel zu umständlich.
>
> Wir hatten doch festgestellt: [mm]\parallel v\parallel =v^{t}v[/mm]
>
> Also ist
>
> [mm]\parallel Oa\parallel =(Oa)^{t}Oa [/mm]
FRED
Hallo Angela,
hier muß es [mm]\parallel Oa\parallel^2 =(Oa)^{t}Oa.[/mm] lauten
>
> Nun besinne Dich auf die Regeln fürs Transponieren.
>
> Was bekommst Du?
>
> Gruß v. Angela
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> Hallo Angela,
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> hier muß es [mm]\parallel Oa\parallel^2 =(Oa)^{t}Oa.[/mm] lauten
Danke! ist überall korrigiert jetzt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Fr 06.11.2009 | | Autor: | Ikit |
Wie kommt man auf [mm] \parallel v\parallel =v^{t}v [/mm] und wie folgerst du daraus [mm] \parallel Oa\parallel^2 =(Oa)^{t}Oa [/mm] ? Da fehlt doch irgendwo ein hoch 2?
Ansonsten würd ich dann so weitermachen:
[mm] \parallel Oa\parallel^2 =(Oa)^{t}Oa [/mm] = [mm] O^{t}a^{t}Oa [/mm] = [mm] OO^{t}a^{t}a [/mm] (darf man das einfach so umstellen?)
= E ||a|| = ||a||
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> Wie kommt man auf [mm]\parallel v\parallel =v^{t}v[/mm] und wie
> folgerst du daraus [mm]\parallel Oa\parallel^2 =(Oa)^{t}Oa[/mm] ? Da
> fehlt doch irgendwo ein hoch 2?
Hallo,
oh, da war noch eine Stelle mit dem von fred angemerkten vergessenen Quadrat.
Es ist [mm] \parallel v\parallel^2 =v^{t}v [/mm] bzw. [mm] \parallel v\parallel =\wurzel{v^{t}v}
[/mm]
>
> Ansonsten würd ich dann so weitermachen:
>
> [mm]\parallel Oa\parallel^2 =(Oa)^{t}Oa[/mm] = [mm]O^{t}a^{t}Oa[/mm] =
> [mm]OO^{t}a^{t}a[/mm] (darf man das einfach so umstellen?)
Klar! das folgt alles Regeln, die es wirklich gibt.
EDIT dank Felix:
Keinesfalls! [mm] \parallel Oa\parallel^2 =(Oa)^{t}Oa= a^{t}O^{t}Oa, [/mm] und dann weiter.
Gruß v. Angela
>
> = E ||a|| = ||a||
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Fr 06.11.2009 | | Autor: | Ikit |
Ok dann ist mir das jetzt klar außer:
Wie kommt man denn überhaupt auf [mm] \parallel v\parallel^2 =v^{t}v [/mm] ? Ist das eine Definition? Hab das vorher noch nie gesehen.
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> Ok dann ist mir das jetzt klar außer:
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> Wie kommt man denn überhaupt auf [mm]\parallel v\parallel^2 =v^{t}v[/mm]
> ? Ist das eine Definition? Hab das vorher noch nie gesehen.
Hallo,
solltest Du aber...
Du kennst das doch auch aus der Schule, den Betrag eines Vektors: [mm] \parallel v\parallel=\wurzel{v^{ŧ}v}=\wurzel{v_1^2+v_2^2+...+v_n^2}.
[/mm]
Für unsere Zwecke hier ist aber die Schreibweise mit dem Tansponierten viel handlicher.
Lies auch noch das, was fred über den Zusammenhang mit dem Skalarprodukt schrieb.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 So 08.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Ansonsten würd ich dann so weitermachen:
> >
> > [mm]\parallel Oa\parallel^2 =(Oa)^{t}Oa[/mm] = [mm]O^{t}a^{t}Oa[/mm] =
> > [mm]OO^{t}a^{t}a[/mm] (darf man das einfach so umstellen?)
Moment! So geht das ganz bestimmt nicht! Es gilt im Allgemeinen weder $(A [mm] B)^t [/mm] = [mm] A^t B^t$ [/mm] nocht $A B = B A$ fuer Matrizen (Vektoren sind ja auch Matrizen).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 So 08.11.2009 | | Autor: | Ikit |
| Aufgabe | Eine quadratische Matrix heißt orthonormal, falls $ [mm] OO^{T} [/mm] $ = E. Man zeige:
Sei [mm] u_{1},...,u_{n} \in \IR^{n} [/mm] n orthogonal Vektoren. [mm] (\bruch{u_{1}}{||u_{1}||},...,\bruch{u_{n}}{||u_{n}||}) \in M^{n,n}(\IR) [/mm] ist orthonormal. |
Vielen Dank soweit für die Hilfe. 2 andere Teilaufgaben dazu konnte ich selbstständig lösen aber die vierte bereitet mir wieder Kopfzerbrechen.
Ich meine, dass das eigentlich schon eine Definition der Orthonormalmatrix ist, nämlich eine Orthogonalmatrix mit normalisierten Spaltenvektoren.
Ich denke aber, dass die Aufgabe so gemeint ist, dass man das eben aus der oberen Definition $ [mm] OO^{T} [/mm] $ = E herleiten soll. Nur hab ich dafür mal wieder keinen Anhaltspunkt. Könnt ihr mir vielleicht einen Hinweis geben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 So 08.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Eine quadratische Matrix heißt orthonormal, falls [mm]OO^{T}[/mm] =
> E. Man zeige:
> Sei [mm]u_{1},...,u_{n} \in \IR^{n}[/mm] n orthogonal Vektoren.
> [mm](\bruch{u_{1}}{||u_{1}||},...,\bruch{u_{n}}{||u_{n}||}) \in M^{n,n}(\IR)[/mm]
> ist orthonormal.
>
> Ich meine, dass das eigentlich schon eine Definition der
> Orthonormalmatrix ist, nämlich eine Orthogonalmatrix mit
> normalisierten Spaltenvektoren.
Nein. Die Definition fuer Orthonormalmatrix steht doch bei euch da: eine Matrix $O$ heisst genau dann Orthonormalmatrix, wenn $O [mm] O^t [/mm] = E$ gilt.
Du sollst jetzt zeigen, dass eine Matrix mit normalisierten orthogonalen Spaltenvektoren eine Orthonormalmatrix (nach dieser Definition!) ist.
Setze $O := [mm] \pmat{ \frac{u_1}{\|u_1\|} & \cdots & \frac{u_n}{\|u_n\|} }$ [/mm] und rechne $O [mm] O^t$ [/mm] aus. Schreibe doch dazu erstmal [mm] $u_i [/mm] = [mm] \pmat{ u_{i1} \\ \vdots \\ u_{in} }$ [/mm] und schreibe hin, wie der Eintrag an der Stelle $(i, v)$ von $O$ aussieht, und wie dann der Eintrag von $O [mm] O^t$ [/mm] an der Stelle $(i, j)$ aussieht. Fuer $i [mm] \neq [/mm] j$ muss 0 rauskommen, fuer $i = j$ muss 1 rauskommen.
LG Felix
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