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| Aufgabe | Sei K ein Körper. Zeige:
a) Für alle [mm] $m,n\in\IN, A\in K^{m\times n}, B\in K^{n\times m}$ [/mm] gilt $spur(AB) = spur(BA)$
b) Sind [mm] A,B\in K^{n\times n} [/mm] ähnlich, so folgt spur(A) = spur(B)
c) Aus char(K) = 0 folgt, dass für alle [mm] A,B\in K^{n\times n} [/mm] die Matrix [mm] $AB-BA\not= E_{n}$ [/mm] ist.
d) Ist char(K) > 0, so gibt es [mm] A,B\in K^{n\times n} [/mm] mit [mm] $AB-BA\not= E_{n}$ [/mm] |
Hallo!
Ich habe zu obigen Aufgaben einige Fragen. Wir haben bisher das Thema Diagonalisierung, charakteristisches Polynom, etc. noch nicht gehabt; wir haben aber schon Determinanten.
Ich habe mich mal versucht:
a) A = [mm] (a_{i_{j}}), [/mm] B = [mm] (b_{i_{j}}).
[/mm]
[mm] $(AB)_{i_{j}} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{n}a_{i_{k}}*b_{k_{j}}$,
[/mm]
also $spur(AB) = [mm] \sum_{i=1}^{m}(AB)_{i_{i}} [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{m}\sum_{k=1}^{n}a_{i_{k}}*b_{k_{i}}$.
[/mm]
[mm] $(BA)_{i_{j}} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{m}b_{i_{k}}*a_{k_{j}}$,
[/mm]
also $spur(BA) = [mm] \sum_{i=1}^{n}(BA)_{i_{i}} [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{m}b_{i_{k}}*a_{k_{i}}$
[/mm]
... und jetzt sehe ich, dass sie gleich sind !(?)
Geht das vielleicht irgendwie "schoener" oder einfacher?
b)
Wenn A,B ähnlich, dann existiert [mm] $S\in [/mm] GL(n,K)$ sodass $B = [mm] S^{-1}AS$.
[/mm]
Das bedeutet:
$spur(B) = [mm] spur(S^{-1}AS) [/mm] = [mm] spur(S^{-1}*(A*S)) [/mm] = [mm] spur((A*S)*S^{-1}) [/mm] = spur(A)$.
(Hier habe ich a) benutzt).
c)
Zunächst ist "offensichtlich" $spur(r*A+s*B) = r*spur(A) + s*spur(B)$. Dann ist aber:
$spur(AB-BA) = spur(AB)-spur(BA) = spur(AB)-spur(AB) = 0 [mm] \not= [/mm] n = [mm] spur(E_{n})$
[/mm]
d)
Ich verstehe nicht ganz, wie die Aussage oben zu verstehen ist. Ist damit gemeint, dass es irgendein [mm] n\in\IN [/mm] gibt, für das es funktioniert? An c) könnte man ja gut sehen, dass es genau mit char(K) = n funktioniert, weil dann ist [mm] $spur(E_{n}) [/mm] = n*1 = 0$...
Stimmen meine Ideen?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mo 25.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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