Beweise ggT < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:52 Sa 29.10.2011 | | Autor: | briddi |
| Aufgabe | Beweise die folgenden Regeln :
1) ggT(a,b)=1, c|a,d|b [mm] \Rightarrow [/mm] ggT(c,d)=1
2) ggT(a,b)=ggT(a,c)=1 [mm] \Rightarrow [/mm] ggT(a,bc)=1
3) ggT(a,b)=1 [mm] \Rightarrow ggT(a^n,b^m)=1 [/mm] für alle n,m [mm] \in \IN
[/mm]
4) ggT(a,b)=1 [mm] \Rightarrow ggT(a+b,a-b)\in [/mm] {1,2}
5) ggT(a,b)=1, d|(a+b) [mm] \Rightarrow [/mm] ggT(a,d)=(b,d)=1 |
Hallo,
ich habe schon einiges bei diesen Beweisen versucht, mir stellt sich zunächst einmal die Frage, ob die Aussagen ganz allgemein beweisbar sind (das habe ich nur bei der ersten Aufgabe geschafft) oder ob ich voraussetzen muss, dass ein Z-prim-eindeutiger Ring vorliegt (ZPE-Ring/ Faktorialring), denn nur dann darf ich laut meiner Vorlesung mit den Primfaktorzerlegungen argumentieren. Da dies in der Aufgabe nicht angegeben ist, frage ich mich eben, ob man die Aussagen allgemein beweisen kann.
Falls dies geht, wäre ich sehr froh über einen Hinweis, denn in ganz allgemeiner Form, also ohne Primfaktorzerlegung, habe ich nur die Aufgabe 1 hinbekommen.
Für die zweite Aufgabe z.B. habe ich mir überlegt (vorausgesetzt man darf von der Primfaktorzerlegung einer jeden Zahl ausgehen), dass man sowohl a, b und c dann als Produkt ihrer Primfaktoren schreiben kann.
Bezeichne [mm] T_a [/mm] die Menge der Primfaktoren von a, entsprechend für b und c, dann gilt : Da ggT(a,b)=1 folgt [mm] T_a \cap T_b=\emptyset, [/mm] ebenso: ggT(a,c)=1 folgt [mm] T_a \cap T_c=\emptyset, [/mm] da außer der 1 keine gemeinsamen Primfaktoren vorhanden sind. (Kann man das so sagen, oder kann es z.B. einen gemeinsamen Primfaktor geben, der kleiner als 1 ist? In den ganzen Zahlen z.B. gibt es das nicht, aber wie sieht es mit anderen Integritätsbereichen aus?)
Dann:
[mm] T_a\cap(T_b\cup T_c)=(T_a \cap T_b) \cup (T_a\cap T_c)=\emptyset \cup \emptyset= \emptyset [/mm]
und damit ggT(a,bc)=1
Kann man das so begründen?
Ähnlich ließe sich dann auch Aufgabe 3 zeigen, bei Aufgabe 4 und 5 komme ich leider gar nicht weiter.
Vielen Dank,
briddi
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Hallo briddi,
> Beweise die folgenden Regeln :
> 1) ggT(a,b)=1, c|a,d|b [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(c,d)=1
> 2) ggT(a,b)=ggT(a,c)=1 [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(a,bc)=1
> 3) ggT(a,b)=1 [mm]\Rightarrow ggT(a^n,b^m)=1[/mm] für alle n,m
> [mm]\in \IN[/mm]
> 4) ggT(a,b)=1 [mm]\Rightarrow ggT(a+b,a-b)\in[/mm] {1,2}
> 5) ggT(a,b)=1, d|(a+b) [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(a,d)=(b,d)=1
>
> ich habe schon einiges bei diesen Beweisen versucht, mir
> stellt sich zunächst einmal die Frage, ob die Aussagen
> ganz allgemein beweisbar sind (das habe ich nur bei der
> ersten Aufgabe geschafft) oder ob ich voraussetzen muss,
> dass ein Z-prim-eindeutiger Ring vorliegt (ZPE-Ring/
> Faktorialring), denn nur dann darf ich laut meiner
> Vorlesung mit den Primfaktorzerlegungen argumentieren. Da
> dies in der Aufgabe nicht angegeben ist, frage ich mich
> eben, ob man die Aussagen allgemein beweisen kann.
So auf Anhieb würde ich sagen, dass 1-3 allgemein zu zeigen sind, 4+5 aber einen ZPE-Ring voraussetzen.
> Falls dies geht, wäre ich sehr froh über einen Hinweis,
> denn in ganz allgemeiner Form, also ohne
> Primfaktorzerlegung, habe ich nur die Aufgabe 1
> hinbekommen.
>
> Für die zweite Aufgabe z.B. habe ich mir überlegt
> (vorausgesetzt man darf von der Primfaktorzerlegung einer
> jeden Zahl ausgehen), dass man sowohl a, b und c dann als
> Produkt ihrer Primfaktoren schreiben kann.
> Bezeichne [mm]T_a[/mm] die Menge der Primfaktoren von a,
> entsprechend für b und c, dann gilt : Da ggT(a,b)=1 folgt
> [mm]T_a \cap T_b=\emptyset,[/mm] ebenso: ggT(a,c)=1 folgt [mm]T_a \cap T_c=\emptyset,[/mm]
> da außer der 1 keine gemeinsamen Primfaktoren vorhanden
> sind. (Kann man das so sagen, oder kann es z.B. einen
> gemeinsamen Primfaktor geben, der kleiner als 1 ist? In den
> ganzen Zahlen z.B. gibt es das nicht, aber wie sieht es mit
> anderen Integritätsbereichen aus?)
Nicht jeder faktorielle Ring hat eine Ordnungsrelation, so dass die Frage eigentlich nicht zu beantworten ist.
> Dann:
> [mm]T_a\cap(T_b\cup T_c)=(T_a \cap T_b) \cup (T_a\cap T_c)=\emptyset \cup \emptyset= \emptyset[/mm]
> und damit ggT(a,bc)=1
>
> Kann man das so begründen?
Das ist gut so. Es gilt auch für Ringe mit nicht eindeutiger Primfaktorzerlegung, wenn Du [mm] T_a [/mm] etc. nicht als Menge der Primteiler, sondern überhaupt als Menge der Teiler definierst.
> Ähnlich ließe sich dann auch Aufgabe 3 zeigen, bei
> Aufgabe 4 und 5 komme ich leider gar nicht weiter.
Bei Aufgabe 4+5 ist dies hilfreich: [mm] \ggT{(x,y)}=\ggT{(x,x+y)}=\ggt{(x,x-y)}=\cdots [/mm] etc.
Grüße
reverend
PS: Ich lasse die Frage halboffen, schon damit noch mal jemand, der mehr weiß, meine Aussagen zu ZPE-Ringen etc. überprüfen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:18 Sa 29.10.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo briddi,
>
> > Beweise die folgenden Regeln :
> > 1) ggT(a,b)=1, c|a,d|b [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(c,d)=1
> > 2) ggT(a,b)=ggT(a,c)=1 [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(a,bc)=1
> > 3) ggT(a,b)=1 [mm]\Rightarrow ggT(a^n,b^m)=1[/mm] für alle n,m
> > [mm]\in \IN[/mm]
> > 4) ggT(a,b)=1 [mm]\Rightarrow ggT(a+b,a-b)\in[/mm]
> {1,2}
> > 5) ggT(a,b)=1, d|(a+b) [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(a,d)=(b,d)=1
> >
> > ich habe schon einiges bei diesen Beweisen versucht, mir
> > stellt sich zunächst einmal die Frage, ob die Aussagen
> > ganz allgemein beweisbar sind (das habe ich nur bei der
> > ersten Aufgabe geschafft) oder ob ich voraussetzen muss,
> > dass ein Z-prim-eindeutiger Ring vorliegt (ZPE-Ring/
> > Faktorialring), denn nur dann darf ich laut meiner
> > Vorlesung mit den Primfaktorzerlegungen argumentieren. Da
> > dies in der Aufgabe nicht angegeben ist, frage ich mich
> > eben, ob man die Aussagen allgemein beweisen kann.
>
> So auf Anhieb würde ich sagen, dass 1-3 allgemein zu
> zeigen sind, 4+5 aber einen ZPE-Ring voraussetzen.
Hallo,
ich denke, 4 geht elementar.
Nach dem Euklidischen Algorithmus ist ggT(a+b,a-b)=ggt(a+b,2b), denn die Differenz von (a+b) und (a-b) ist 2b.
Die Annahme, dass letztgenannter ggT größer als 2 ist, führt sofort zu einem Widerspruch.
Gruß Abakus
>
> > Falls dies geht, wäre ich sehr froh über einen Hinweis,
> > denn in ganz allgemeiner Form, also ohne
> > Primfaktorzerlegung, habe ich nur die Aufgabe 1
> > hinbekommen.
> >
> > Für die zweite Aufgabe z.B. habe ich mir überlegt
> > (vorausgesetzt man darf von der Primfaktorzerlegung einer
> > jeden Zahl ausgehen), dass man sowohl a, b und c dann als
> > Produkt ihrer Primfaktoren schreiben kann.
> > Bezeichne [mm]T_a[/mm] die Menge der Primfaktoren von a,
> > entsprechend für b und c, dann gilt : Da ggT(a,b)=1 folgt
> > [mm]T_a \cap T_b=\emptyset,[/mm] ebenso: ggT(a,c)=1 folgt [mm]T_a \cap T_c=\emptyset,[/mm]
> > da außer der 1 keine gemeinsamen Primfaktoren vorhanden
> > sind. (Kann man das so sagen, oder kann es z.B. einen
> > gemeinsamen Primfaktor geben, der kleiner als 1 ist? In den
> > ganzen Zahlen z.B. gibt es das nicht, aber wie sieht es mit
> > anderen Integritätsbereichen aus?)
>
> Nicht jeder faktorielle Ring hat eine Ordnungsrelation, so
> dass die Frage eigentlich nicht zu beantworten ist.
>
> > Dann:
> > [mm]T_a\cap(T_b\cup T_c)=(T_a \cap T_b) \cup (T_a\cap T_c)=\emptyset \cup \emptyset= \emptyset[/mm]
> > und damit ggT(a,bc)=1
> >
> > Kann man das so begründen?
>
> Das ist gut so. Es gilt auch für Ringe mit nicht
> eindeutiger Primfaktorzerlegung, wenn Du [mm]T_a[/mm] etc. nicht als
> Menge der Primteiler, sondern überhaupt als Menge der
> Teiler definierst.
>
> > Ähnlich ließe sich dann auch Aufgabe 3 zeigen, bei
> > Aufgabe 4 und 5 komme ich leider gar nicht weiter.
>
> Bei Aufgabe 4+5 ist dies hilfreich:
> [mm]\ggT{(x,y)}=\ggT{(x,x+y)}=\ggt{(x,x-y)}=\cdots[/mm] etc.
>
> Grüße
> reverend
>
> PS: Ich lasse die Frage halboffen, schon damit noch mal
> jemand, der mehr weiß, meine Aussagen zu ZPE-Ringen etc.
> überprüfen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:52 Sa 29.10.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo abakus,
es kommt mir so vor, als hätte mein Tipp zu Aufgabe 4 und 5 genau darauf hingedeutet. Nur: gilt er auch in Ringen mit nicht eindeutiger Zerlegung?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:53 Sa 29.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> es kommt mir so vor, als hätte mein Tipp zu Aufgabe 4 und
> 5 genau darauf hingedeutet. Nur: gilt er auch in Ringen mit
> nicht eindeutiger Zerlegung?
nein, dafuer braucht man einen euklidischen Ring.
Jeder euklidische Ring ist faktoriell (also ein ZPE-Ring), aber nicht jeder faktorielle Ring ist ein euklidischer Ring.
[mm] $\IZ[x]$ [/mm] ist etwa faktoriell, aber nicht euklidisch.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 Sa 29.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> ggT(a+b,a-b)=ggt(a+b,2b)
das gilt uebrigens in allgemeinen Integritaetsbereichen: ein Element $d [mm] \in [/mm] R$ ist genau dann ein Teiler von $a + b$ und $a - b$, wenn es ein Teiler von $a + b$ und $2 b$ ist.
Man braucht also keinen euklidischen Ring.
> Die Annahme, dass letztgenannter ggT größer als 2 ist,
> führt sofort zu einem Widerspruch.
Hiermit kann man zeigen, dass der ggT - soweit er denn existiert - ein Teiler von 2 ist. (Was in Charakteristik 2 nichts Gutes bedeutet  )
Er muss aber weder assoziiert zu 1 oder zu 2 sein... (siehe mein Gegenbeispiel in einem Hauptidealbereich.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:09 Sa 29.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Beweise die folgenden Regeln :
> > 1) ggT(a,b)=1, c|a,d|b [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(c,d)=1
> > 2) ggT(a,b)=ggT(a,c)=1 [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(a,bc)=1
> > 3) ggT(a,b)=1 [mm]\Rightarrow ggT(a^n,b^m)=1[/mm] für alle n,m
> > [mm]\in \IN[/mm]
> > 4) ggT(a,b)=1 [mm]\Rightarrow ggT(a+b,a-b)\in[/mm]
> {1,2}
> > 5) ggT(a,b)=1, d|(a+b) [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(a,d)=(b,d)=1
> >
> > ich habe schon einiges bei diesen Beweisen versucht, mir
> > stellt sich zunächst einmal die Frage, ob die Aussagen
> > ganz allgemein beweisbar sind (das habe ich nur bei der
> > ersten Aufgabe geschafft) oder ob ich voraussetzen muss,
> > dass ein Z-prim-eindeutiger Ring vorliegt (ZPE-Ring/
> > Faktorialring), denn nur dann darf ich laut meiner
> > Vorlesung mit den Primfaktorzerlegungen argumentieren. Da
> > dies in der Aufgabe nicht angegeben ist, frage ich mich
> > eben, ob man die Aussagen allgemein beweisen kann.
>
> So auf Anhieb würde ich sagen, dass 1-3 allgemein zu
> zeigen sind, 4+5 aber einen ZPE-Ring voraussetzen.
1 geht allgemein (in Integritaetsbereichen).
Fuer 2 braucht man einen faktoriellen Ring, zumindest faellt mir grad ein Gegenbeispiel ein mit einem nicht-faktoriellen Ring. (Man braucht irreduzible Elemente $a, b, c, d$ mit $a b = c d$, jedoch $a [mm] \nmid [/mm] c, d$. Dann ist $ggT(a, c) = ggT(a, d) = 1$, jedoch $ggT(a, c d) = a$; in gewissen quadratischen Zahlkoerpern findet man schnell solche Beispiele, etwa $6 = 2 [mm] \cdot [/mm] 3 = (1 + [mm] \sqrt{-5}) [/mm] (1 - [mm] \sqrt{-5})$ [/mm] in [mm] $\IZ[\sqrt{-5}]$.)
[/mm]
Bei 3 braucht man ebenfalls, dass der Ring faktoriell ist: im Unterring [mm] $K[X^2, X^3]$ [/mm] von $K[X]$ (also alle Polynome ohne linearen Term) ist [mm] $ggT(X^2, X^3) [/mm] = 1$, jedoch [mm] $ggT((X^2)^3, (X^3)^2) [/mm] = [mm] ggT(X^6, X^6) [/mm] = [mm] X^6$.
[/mm]
Aussage 4 stimmt nichtmals in euklidischen Ringen: hat man etwa den euklidischen Ring $R = K[X]$ mit $K = [mm] \IZ/2\IZ [/mm] = [mm] \IF_2$ [/mm] (Koerper mit zwei Elementen), so ist $ggT(1, 1) = 1$, jedoch $ggT(1 + 1, 1 - 1) = ggT(0, 0) = 0$. Auch wenn man annimmt, dass der Ring Charakteristik 0 hat und faktoriell ist, geht's schief: ist man etwa in [mm] $\IZ[\sqrt{3}]$, [/mm] so hat man [mm] $(\sqrt{3} [/mm] + 1) [mm] (\sqrt{3} [/mm] - 1) = 2$, und mit $a = 1$, $b = 1 + [mm] \sqrt{3} [/mm] + 1$ hat man $ggT(a, b) = 1$, jedoch $ggT(a + b, a - b) = ggT(2 + [mm] (\sqrt{3} [/mm] + 1), [mm] \sqrt{3} [/mm] + 1) = [mm] \sqrt{3} [/mm] + 1$, was weder assoziiert zu 2 noch zu 1 ist. (Der Ring [mm] $\IZ[\sqrt{3}]$ [/mm] ist sogar ein Hauptidealbereich, also insbesondere auch faktoriell, da er ![[]](/images/popup.gif) Klassenzahl 1 hat.)
Aussage 5 dagegen gilt wieder in allen Integritaetsbereichen.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:15 Sa 29.10.2011 | | Autor: | reverend |
Oha. Da lag ich ja mehrheitlich daneben.
Soviel zum Thema Bauchgefühl. Meins lagert zZ aber auch mehr in der Umgebung eines vereiterten Zahns. Trotzdem kein gutes Zeichen.
lg
rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:33 Sa 29.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin
> > Für die zweite Aufgabe z.B. habe ich mir überlegt
> > (vorausgesetzt man darf von der Primfaktorzerlegung einer
> > jeden Zahl ausgehen), dass man sowohl a, b und c dann als
> > Produkt ihrer Primfaktoren schreiben kann.
> > Bezeichne [mm]T_a[/mm] die Menge der Primfaktoren von a,
> > entsprechend für b und c, dann gilt : Da ggT(a,b)=1 folgt
> > [mm]T_a \cap T_b=\emptyset,[/mm] ebenso: ggT(a,c)=1 folgt [mm]T_a \cap T_c=\emptyset,[/mm]
> > da außer der 1 keine gemeinsamen Primfaktoren vorhanden
> > sind. (Kann man das so sagen, oder kann es z.B. einen
> > gemeinsamen Primfaktor geben, der kleiner als 1 ist? In den
> > ganzen Zahlen z.B. gibt es das nicht, aber wie sieht es mit
> > anderen Integritätsbereichen aus?)
>
> Nicht jeder faktorielle Ring hat eine Ordnungsrelation, so
> dass die Frage eigentlich nicht zu beantworten ist.
Das stimmt nicht ganz. Jeder Integritaetsbereich hat mit der Teilbarkeitsrelation eine partielle Ordnungsrelation fuer Elemente [mm] $\neq [/mm] 0$, die auf [mm] $\IZ$ [/mm] der Ordnung "mit Betrag" entspricht.
Bezueglich dieser Ordnungsrelation definiert man auch groesste gemeinsame Teiler und kleinste gemeinsame Vielfache.
> > Dann:
> > [mm]T_a\cap(T_b\cup T_c)=(T_a \cap T_b) \cup (T_a\cap T_c)=\emptyset \cup \emptyset= \emptyset[/mm]
> > und damit ggT(a,bc)=1
> >
> > Kann man das so begründen?
>
> Das ist gut so. Es gilt auch für Ringe mit nicht
> eindeutiger Primfaktorzerlegung, wenn Du [mm]T_a[/mm] etc. nicht als
> Menge der Primteiler, sondern überhaupt als Menge der
> Teiler definierst.
Das Problem ist nur: in der Aufgabe 2 muss man [mm] $T_a$ [/mm] mit [mm] $T_{b c}$ [/mm] vergleichen und nicht mit [mm] $T_b \cup T_c$. [/mm] Bei Primteilern reicht das aus (womit man wieder einen ZPE-Ring braucht), bei beliebigen Teilern jedoch nicht.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:50 So 30.10.2011 | | Autor: | briddi |
Ganz lieben Dank bereits an alle, die mitdiskutiert haben. Ich werde mich jetzt mal wieder dran setzen und versuchen all eure Anmerkungen mit einzubeziehen.
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Bauchgefuehl funktioniert bei Teilbarkeitsangelegenheiten oft nicht so gut, wenn man nicht mit allen moeglichen Gegenbeispielen und Problemen vertraut ist... Gerade in nicht-faktoriellen Ringen liegt der Teufel meist im Detail 