Beweise für Grad.Gleichung < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Fr 18.11.2011 | | Autor: | cool915 |
Hallo alle miteinander,
ich habe mal wieder eine tolle Denkaufgabe bekommen, wo ich meine Probleme mit habe. Es soll folgendes gezeigt werden:
(i) [mm] grad_(\vec{x}) (<\vec{a},\vec{f}>) [/mm] = [mm] [\vec{f}'(\vec{x})]^T*\vec{c}^T
[/mm]
(ii) [mm] grad_(\vec{x}) [/mm] [g(A*)] = [mm] A^T grad_(A\vec{x}) [/mm] g , wobei g(A*) die Funktion [mm] \vec{\delta}\mapsto g(A\vec{\delta}) [/mm] bezeichnet
dabei ist [mm] A\in \IR^{n\times n}, \vec{c}\in \IR^n [/mm] und [mm] \vec{f}: \IR^n \to \IR^n [/mm] und g: [mm] \IR^n \to \IR [/mm] diff'bar.
Meine Frage ist: Wie muss ich den Ansatz wählen um diese beiden Sachverhalte zubeweisen. Ich würde mich sehr ünber jede Hilfe freuen, da ich bei solchen Aufgaben, wo es um Beweisführung geht eine volle null bin.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:00 Fr 18.11.2011 | | Autor: | cool915 |
der Vektor [mm] \vec{a} [/mm] bei (i) ist falsch, es müsste [mm] \vec{c} [/mm] heißen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:44 Fr 18.11.2011 | | Autor: | cool915 |
und der Vektor c wird auch nicht transponiert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:47 Fr 18.11.2011 | | Autor: | Fyrus |
Soll das wirklich der Gradient eines Vektors sein? ---> [mm] grad(\vec{x})
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:08 Fr 18.11.2011 | | Autor: | cool915 |
Das "x" sollte der Index des Gradienten sein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Fr 18.11.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo alle miteinander,
>
> ich habe mal wieder eine tolle Denkaufgabe bekommen, wo ich
> meine Probleme mit habe. Es soll folgendes gezeigt werden:
>
> (i) [mm]grad_(\vec{x}) (<\vec{a},\vec{f}>)[/mm] =
> [mm][\vec{f}'(\vec{x})]^T*\vec{c}^T[/mm]
Da würde ich die Produktregel anwenden. Du kannst es z.B. komponentenweise machen:
[mm] \mathop{\mathrm{grad}}_x (<\vec{a},\vec{f}>) = \mathop{\mathrm{grad}}_x \summe_{k=1}^n a_i f_i = \summe_{k=1}^n a_i \mathop{\mathrm{grad}}_x f_i [/mm]
> (ii) [mm]grad_(\vec{x})[/mm] [g(A*)] = [mm]A^T grad_(A\vec{x})[/mm] g , wobei
> g(A*) die Funktion [mm]\vec{\delta}\mapsto g(A\vec{\delta})[/mm]
> bezeichnet
Kettenregel.
EDIT: mir fiel grad auf, dass das zu schlampig geschrieben war:
[mm] (\mathop{\mathrm{grad}}_x g(A^\ast))(x) = \mathop{\mathrm{grad}}_x g(Ax) = (\mathop{\mathrm{grad}}g)(Ax) * \mathop{\mathrm{grad}}_x(Ax) = A^T \mathop{\mathrm{grad}}_{A\vec{x}} g [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Fr 18.11.2011 | | Autor: | cool915 |
und was mache ich bei der Kettenregel da jetzt ganau? Also was amche ich hier ganau?
Danke für Informationen:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:45 Sa 19.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Ist f(x):=Ax, so mußt Du differenzieren:
g(f(x)).
Wie geht das mit der Kettenregel ?
FRED
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Ich sitz grad vor der gleichen Aufgabe und bin bei der ersten Teilaufgabe zu folgendem Ansatz gekommen:
[mm] grad_{\overrightarrow{x}}(c*f) [/mm] = [mm] grad_{\overrightarrow{x}}(\vektor{c_{1} \\ \vdots \\ c_{n}}*\vektor{f_{1} \\ \vdots \\ f_{n}})
[/mm]
[mm] =grad_{\overrightarrow{x}}\vektor{ c_{1}*f_{1}(x)\\ \vdots \\ c_{n}*f_{n}(x)})
[/mm]
Darauf würde ich die normale Definition des Gradienten anwenden.
So bekomme ich:
[mm] \bruch{\Delta}{\Delta x_{i}} f_{i}* c_{i} [/mm] = f'_{i}(x) * [mm] c_{i}
[/mm]
[mm] c_{i} [/mm] kann ich am Ende rausziehen, da es eine Konstante ist.
Somit folgt [mm] grad_{x}(c*f(x)) [/mm] = [mm] c*[f'(x)]^{T}
[/mm]
Kann ich das so machen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Mo 21.11.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich sitz grad vor der gleichen Aufgabe und bin bei der
> ersten Teilaufgabe zu folgendem Ansatz gekommen:
>
> [mm]grad_{\overrightarrow{x}}(c*f)[/mm] =
> [mm]grad_{\overrightarrow{x}}(\vektor{c_{1} \\ \vdots \\ c_{n}}*\vektor{f_{1} \\ \vdots \\ f_{n}})[/mm]
>
> [mm]=grad_{\overrightarrow{x}}\vektor{ c_{1}*f_{1}(x)\\ \vdots \\ c_{n}*f_{n}(x)})[/mm]
>
> Darauf würde ich die normale Definition des Gradienten
> anwenden.
> So bekomme ich:
>
> [mm]\bruch{\Delta}{\Delta x_{i}} f_{i}* c_{i} = f'_{i}(x) * c_{i}[/mm]
>
> [mm]c_{i}[/mm] kann ich am Ende rausziehen, da es eine Konstante ) *
> ist.
>
> Somit folgt [mm]grad_{x}(c*f(x))[/mm] = [mm]c*[f'(x)]^{T}[/mm]
>
> Kann ich das so machen??
Im Prinzip ja.
Allerdings musst du mit deinen Indizes aufpassen: denn genau genommen steht da
[mm]\bruch{\partial}{\partial x_{j}} \summe_{i=1}^n f_{i}* c_{i} = \summe_{i=1}^n \bruch{\partial f_{i}}{\partial x_j}(x) * c_{i} [/mm] .
Nun ist
[mm] \bruch{\partial f_{i}}{\partial x_j}(x) [/mm]
gerade das Element $(i,j)$ der Jacobimatrix $f'(x)$, und daher
[mm] \bruch{\partial}{\partial x_{j}} \summe_{i=1}^n f_{i}* c_{i} = = ( \text{i-te Zeile von $f'^T$}) * c^T [/mm] .
Wenn du jetzt alle diese Elemente zu einem Spaltenvektor zusammenbaust, hast du das gewünschte Ergebnis
[mm] [\vec{f}'(\vec{x})]^T\cdot{}\vec{c}^T [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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> [mm]\bruch{\partial}{\partial x_{j}} \summe_{i=1}^n f_{i}* c_{i} = \summe_{i=1}^n \bruch{\partial f_{i}}{\partial x_j}(x) * c_{i}[/mm]
> .
>
> Nun ist
>
> [mm]\bruch{\partial f_{i}}{\partial x_j}(x)[/mm]
>
> gerade das Element [mm](i,j)[/mm] der Jacobimatrix [mm]f'(x)[/mm], und daher
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial x_{j}} \summe_{i=1}^n f_{i}* c_{i} = = ( \text{i-te Zeile von $f'^T$}) * c^T[/mm]
> .
Ich versteh nicht, warum du diese Summenschreibweise verwendest.
In meiner Vorstellungswelt steht da für die i-te Spalte:
[mm] \bruch{\delta}{\delta x_{i}} f_{i}(x) *c_{i}.
[/mm]
Liegt das daran, dass die Funktion f von [mm] \IR^{n} \to \IR^{n} [/mm] geht und nicht wie z.B. hier definiert http://de.wikipedia.org/wiki/Gradient_%28Mathematik%29 von [mm] \IR^{n} [/mm] to [mm] \IR??
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Mo 21.11.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
>
> > [mm]\bruch{\partial}{\partial x_{j}} \summe_{i=1}^n f_{i}* c_{i} = \summe_{i=1}^n \bruch{\partial f_{i}}{\partial x_j}(x) * c_{i}[/mm]
> > .
> >
> > Nun ist
> >
> > [mm]\bruch{\partial f_{i}}{\partial x_j}(x)[/mm]
> >
> > gerade das Element [mm](i,j)[/mm] der Jacobimatrix [mm]f'(x)[/mm], und daher
> >
> > [mm]\bruch{\partial}{\partial x_{j}} \summe_{i=1}^n f_{i}* c_{i} = = ( \text{i-te Zeile von $f'^T$}) * c^T[/mm]
> > .
>
> Ich versteh nicht, warum du diese Summenschreibweise
> verwendest.
>
> In meiner Vorstellungswelt steht da für die i-te Spalte:
>
> [mm]\bruch{\delta}{\delta x_{i}} f_{i}(x) *c_{i}.[/mm]
Nein. Das Skalarprodukt ist per Definition
[mm] = \summe_{i=1}^n f_{i}* c_{i} [/mm] .
Du willst dieses Ding der Reihe nach jeweils nach [mm] $x_1,\dots\,x_n$ [/mm] ableiten. Also besteht das Ergebnis aus den einzelnen Ableitungen
[mm] \bruch{\partial}{\partial x_1} \summe_{i=1}^n f_{i}* c_{i} [/mm] ,
[mm] \bruch{\partial}{\partial x_2} \summe_{i=1}^n f_{i}* c_{i} [/mm] ,
[mm] \dots [/mm]
[mm] \bruch{\partial}{\partial x_n} \summe_{i=1}^n f_{i}* c_{i} [/mm] .
Der Spaltenindex hat mit dem Summationsindex nichts zu run.
Viele Grüße
Rainer
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Aber woher kommt das Skalarprodukt?
Ich hab mir nochmal die Aufgabe angeguckt, die der Kollege vom Anfang gepostet hat. Hab festgestellt, dass sie bei uns ein bisschen anders definiert ist. Tut mir leid für die Verwirrung.
Bei uns ist die Aufgabe folgendermaßen:
[mm] grad_{x}(\overrightarrow{c}\overrightarrow{f}) [/mm] = [mm] [\overrightarrow{f'(x)}]^{T}* \overrightarrow{c}
[/mm]
Da kommt doch bei der Rechnung kein Skalarprodukt, oder??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Di 22.11.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Aber woher kommt das Skalarprodukt?
>
> Ich hab mir nochmal die Aufgabe angeguckt, die der Kollege
> vom Anfang gepostet hat. Hab festgestellt, dass sie bei uns
> ein bisschen anders definiert ist. Tut mir leid für die
> Verwirrung.
>
> Bei uns ist die Aufgabe folgendermaßen:
>
> [mm]grad_{x}(\overrightarrow{c}\overrightarrow{f})[/mm] =
> [mm][\overrightarrow{f'(x)}]^{T}* \overrightarrow{c}[/mm]
>
> Da kommt doch bei der Rechnung kein Skalarprodukt, oder??
[mm] $\overrightarrow{c}\overrightarrow{f}$ [/mm] ist das Skalarprodukt.
Viele Grüße
Rainer
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