Beweise Tschebyscheff < Versicherungsmat < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei X eine ZV mit [mm] E|X|<\infty, [/mm] c>0. Zeigen Sie:
a) [mm] P(X>2EX)\le(VKO X)^{2}
[/mm]
[mm] b)P(X>EX-c)\ge{\frac{c^{2}}{(c^{2}+VarX)}}
[/mm]
(Hinweis a) Ungleichung v. Tschebyscheff b) Ungleichung von Cantelli mit Y=EX-X) |
Hallo allerseits,
mir fehlen zu obiger Aufgabe die Ansätze. Zur Erklärung: ZV = Zufallsvariable, EX = Erwartungswert = [mm] \mu, [/mm] VKO = Variationskoeffizient = [mm] \nu, [/mm] VarX = Varianz = [mm] \sigma^{2}.
[/mm]
Zu a) Ungleichung von Tschebyscheff: [mm] P(|X-EX|\rec)\le\frac{\sigma^{2}}{c^{2}}, \forall{c>0}
[/mm]
[mm] \nu=\frac{\sigma}{\mu} [/mm] - rechte Seite quadriert = [mm] (\frac{\sigma}{\mu})^{2} [/mm] = [mm] \frac{\sigma^{2}}{\mu^{2}} [/mm] = [mm] \frac{VarX^{²}}{(EX)^{2}} [/mm] - damit hätte ich zumindest VarX auf der rechten Seite, jetzt könnte ich das [mm] (EX)^{2} [/mm] noch "wegmultiplizieren". Tja, wie man sieht fehlt mir jeglicher Ansatz.
Zu b) Ungleichung von Cantelli: [mm] P(|X-EX|\ge{c})\le{\frac{VarX}{(c^{2}+VarX)}}, \forall{c>0}
[/mm]
Meine Idee. P(X>EX-c)=P(EX-X<c) - Hinweis: Y=EX-X [mm] \to [/mm] P(Y<c)
Aus Vorlesung bekannt: Y=X-EX [mm] \to [/mm] EY=EX-E(EX)=EX-EX=0, VarY=VarX
Komme nicht vorwärts.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 Mo 10.10.2011 | | Autor: | Fry |
Hey,
also zum ersten Teil.Würde das so machen:
[mm] $P(X>2EX)=P(X-EX>EX)\le P(|X-EX|>EX)\le \bruch{Var X}{(EX)^2}=v^2$
[/mm]
LG
Fry
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:51 Mo 10.10.2011 | | Autor: | Hoffmann79 |
Hallo Fry,
sieht gut aus. P(X>2EX)=P(X>EX+EX)=P(X-EX>EX) ... leuchtet mir ein.
Danke! 
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