Beweise Teiler größer 1 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Do 03.03.2005 | | Autor: | Andrej |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo an euch alle.
Hier eine Aufgabe aus dem Landeswettbewerb Mathematik (Aufgabe 430945):
Untersuchen Sie, ob es unendlich viele natürliche Zahlen n gibt, für die [mm] 2^{n}-3 [/mm] und [mm] 3^{n}-2 [/mm] einen gemeinsamen Teiler größer 1 haben.
Wie kann ich diese Aufgabe lösen?
Ich weiß nur dass beide Zahlen ungerade sind und damit nicht durch 2 teilbar, aber viel mehr fällt mir dazu nicht ein.
Gruß Andrej
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Hi Andrej,
Wenn ich dich richtig verstanden habe, willst du keine fertige Lösung, sondern vielmehr einen Tipp oder eine Lösungsidee.
Deine ersten Gedanken mögen zwar unnütze scheinen, gehen aber in die richtige Richtung:
2 kann nie ein Teiler von [mm] 3^n-2 [/mm] oder von [mm] 2^n-3 [/mm] sein.
Probieren wir jetzt mal die Primzahlen weiter durch:
3 ist natürlich kein Teiler von [mm] 3^n-2. [/mm] Allerdings kann [mm] 2^n-3 [/mm] auch kein vielfaches von 3 sei. Da das Gegenteil sofort zu einem Wiederspruch führt: [mm] $2^n-3=3k \gdw 2^n=3(k+1)$.
[/mm]
Die nächste Primzahl ist die 5. Und bei dieser ist es möglich unendlich viele n anzugeben, sodass 5 sowohl [mm] 2^n-3 [/mm] als auch [mm] 3^n-2 [/mm] teilt.
geht mit Kongruenzrechnung relativ einfach (sagt dir das irgendwas???)
Probiere jetzt mal dies selbst zu zeigen.
Wenn du weitere Tips oder Hilfestellungen brauchst (oder einfach nur die komplette Lösung wissen willst) melde dich nochmal.
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:16 Do 03.03.2005 | | Autor: | Andrej |
Kurz bevor du das gepostet hattest ist mir die Lösung eingefallen. So ein richtiger Gedankenblitz.
[mm] 2^{n} [/mm] Mod 5 ist periodisch. Nämlich: 2,4,3,1
[mm] 3^{n} [/mm] Mod 5 ist ebenfalls periodisch. Nämlich: 3,4,2,1
[mm] 2^{n} [/mm] - 3 ist bei n=3+4x durch 5 teilbar.
[mm] 3^{n} [/mm] - 2 ist ebenfalls bei n=3+4x durch 5 teilbar.
-> es gibt unendlich viele n.
Der Beweis ist zwar nicht sonderlich schön, aber ich denke es kommt rüber was gemeint ist.
Trotz allem danke für die Antwort
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:38 Do 03.03.2005 | | Autor: | Teletubyyy |
Hi Andrej,
schön gemacht!
Genau so hab ich mir das auch überlegt. Für [mm]n=4k+3 \Rightarrow 5|(2^n-3)\,\,und\,\,5|(3^n-2)[/mm]
Nur dass ich den Beweis eigentlich ganz elegant finde 
Gruß Samuel
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