Beweise Lema angeord. Körper < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 So 13.04.2008 | | Autor: | then3210 |
| Aufgabe | Es sei (K,+, ·,) ein angeordneter Körper.
Für alle a, b, c [mm] \in [/mm] K gilt:
(i) Es trifft genau eine der folgenden drei Aussagen zu: a = b, a < b, a > b.
(ii) Aus a [mm] \le [/mm] b und b < c folgt a < c.
(iii) Aus 0 < a und 0 < b folgt 0 < ab.
(iv) Aus a [mm] \le [/mm] b und c [mm] \ge [/mm] 0 folgt ac [mm] \le [/mm] bc. |
Wie kann ich das Lemma beweisen?
z.B.
(ii) steht in meinen Axiomen (Transitivität)
(iii) steht in meinen Axiomen (Monotonie)
Aber das wird als Beweis doch nicht reichen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:37 Mo 14.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es sei (K,+, ·,) ein angeordneter Körper.
> Für alle a, b, c [mm]\in[/mm] K gilt:
> (i) Es trifft genau eine der folgenden drei Aussagen zu: a
> = b, a < b, a > b.
> (ii) Aus a [mm]\le[/mm] b und b < c folgt a < c.
> (iii) Aus 0 < a und 0 < b folgt 0 < ab.
> (iv) Aus a [mm]\le[/mm] b und c [mm]\ge[/mm] 0 folgt ac [mm]\le[/mm] bc.
>
> Wie kann ich das Lemma beweisen?
Na, anhand der Definitionen und Axiome! :)
> z.B.
> (ii) steht in meinen Axiomen (Transitivität)
> (iii) steht in meinen Axiomen (Monotonie)
Das glaube ich nicht. Du has die entsprechenden Axiome eher fuer [mm] $\le$ [/mm] gegeben und nicht fuer $<$. Jetzt musst du zeigen, dass mit der Definition von $<$ und den Axiomen fuer [mm] $\le$ [/mm] auch diese Aussagen fuer $<$ folgen.
Etwa: $b < c$ heisst ja $b [mm] \le [/mm] c$ und $b [mm] \neq [/mm] c$. Wenn nun auch $a [mm] \le [/mm] b$ gilt, dann folgt mit den Axiomen fuer [mm] $\le$, [/mm] dass $a [mm] \le [/mm] c$ gilt. Jetzt musst du aber $a < c$ zeigen, also du musst noch zeigen, dass $a [mm] \neq [/mm] c$ ist. Was ist denn, wenn $a = c$ gilt? Kannst du dann mit den Axiomen etwas ueber $b$ aussagen und daraus einen Widerspruch (zu $a = c$) folgern?
LG Felix
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