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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Mi 21.10.2009 | | Autor: | julmarie |
| Aufgabe | Für a, b [mm] \in \IR [/mm] definiere a [mm] \oplus [/mm] b := a+b+ab. Zeigen SIe
1. [mm] (\IR\ [/mm] \ [mm] \{-1\}, \oplus) [/mm] ist eine abelsche Gruppe |
Hi,
hab leider gar keine Ahnung wie ich da ran gehen soll.. hat jemand vielleicht nen denkanstoß oder kann mir irgendwie helfen?
Und da hätt ich dann noch ne ganz grundlegende Frage, was heißt das Zeichen: [mm] \oplus
[/mm]
Danke im vorraus..
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Hallo julmarie!
Du musst für diese vorgegebene Verknüpfung [mm] $\oplus$ [/mm] die einzelnen ![[]](/images/popup.gif) Gruppen-Axiome nachweisen.
[mm] $\oplus$ [/mm] ist lediglich ein Symbol für eine Verknüpfung.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Mi 21.10.2009 | | Autor: | julmarie |
| Aufgabe | | Du musst für diese vorgegebene Verknüpfung $ [mm] \oplus [/mm] $ die einzelnen []Gruppen-Axiome nachweisen. |
hmm.. aber wie muss ich denn beginnen, welche Gruppenaxiome soll ich beweisen und vor allem wie?
vielleicht kannst du mir noch ein wenig helfen..
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Hallo
> Du musst für diese vorgegebene Verknüpfung [mm]\oplus[/mm] die
> einzelnen []Gruppen-Axiome nachweisen.
> hmm.. aber wie muss ich denn beginnen, welche
> Gruppenaxiome soll ich beweisen und vor allem wie?
Na, du musst ja beweisen, dass es eine Gruppe ist.. also musst du ALLE Gruppenaxiome nachweisen! ;)
Weisst du, wie eine Gruppe definiert ist? Sobald du das herausgefunden hast, bilde Elemente der Menge mit der vorgegebenen Vorschrift ab und prüfe, ob die Axiome gelten.
>
> vielleicht kannst du mir noch ein wenig helfen..
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Mi 21.10.2009 | | Autor: | julmarie |
| Aufgabe | Aufgabe
Für a, b $ [mm] \in \IR [/mm] $ definiere a $ [mm] \oplus [/mm] $ b := a+b+ab. Zeigen SIe
1. $ [mm] (\IR\ [/mm] $ \ $ [mm] \{-1\}, \oplus) [/mm] $ ist eine abelsche Gruppe |
und was hat das mit der -1 auf sich?
ich hab jetzt die Gruppenaxiome rausgesucht, die quasi nachgewiesen werden müssen:
(G1) (a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ [/mm] c = a [mm] \circ [/mm] (b [mm] \circ [/mm] c)
(G2) 1. e (neutrales Element) [mm] \circ [/mm] a = a
2. es gibt ein inveres Elemt a´ [mm] \in [/mm] G mit a´ [mm] \circa [/mm] = e
(G3) a [mm] \circ [/mm] b = b [mm] \circ [/mm] a
aber wie muss ich das beweisen, ich will ja überprüfen, das diese Axiome gelten, weil dann [mm] (\IR\ [/mm] $ \ $ [mm] \{-1\}, \oplus) [/mm] eine abelsche Gruppe ist, aber wie geht das?
stehe gard voll auf dem schlauch..
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Hallo julmarie!
Betrachten wir mal $(a [mm] \circ b)\circ [/mm] c$ :
[mm] $$(\blue{a \oplus b})\oplus [/mm] c \ = \ [mm] (\blue{a+b+a*b})\oplus [/mm] c \ = \ (a+b+a*b)+c+(a+b+a*b)*c \ = \ ...$$
Nun weiter zusammenfassen.
Untersuche analog $a [mm] \oplus (b\oplus [/mm] c) $ und vergleiche die entstehenden Terme.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Mi 21.10.2009 | | Autor: | julmarie |
Tut mir leid, aber ich verstehe nicht, wie du auf (a+b+a *b) kommst .. wieso einmal plus und einmal minus?
Und noch einmal meine Frage, in welchem zusammenhang steht hier die Minus 1 von meiner Aufgabe?
schönen abend noch
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Hallo julmarie!
> Tut mir leid, aber ich verstehe nicht, wie du auf (a+b+a *b) kommst ..
Indem ich die vordefinierte Verknüpfung aus der Aufgabenstellung anwende.
> wieso einmal plus und einmal minus?
Welches Minus? In meinem Post ist kein Minus enthalten.
> Und noch einmal meine Frage, in welchem zusammenhang steht
> hier die Minus 1 von meiner Aufgabe?
Dass Du hier alle reellen Werte mit Ausnahme der $-1_$ für die einzelnen Variablen einsetzen darfst.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Mi 21.10.2009 | | Autor: | julmarie |
ach man bin ich blöd.. jetzt weiß ich vorher das kommt, aber dann komm ich zu einer anderen Frage, warum kommt im dritten schritt (a+b+a*b)+c + (a+b+a*b)*c ??
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Hallo julmarie!
Weil wir nun die beiden Elemente $(a+b+a*b)_$ und $c_$ gemäß der Definition miteinander verknüpfen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:17 Mi 21.10.2009 | | Autor: | julmarie |
ich glaub ich muss mich morgen nochmal dran setzen.. ich kann dir mit dem letzte Schritt nicht so ganz folgen..
Aber danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 So 25.10.2009 | | Autor: | zehn |
| Aufgabe | Für a, b $ [mm] \in \IR [/mm] $ definiere a $ [mm] \oplus [/mm] $ b := a+b+ab. Zeigen SIe
1. $ [mm] (\IR\ [/mm] $ \ $ [mm] \{-1\}, \oplus) [/mm] $ ist eine abelsche Gruppe |
Hallo, spannendes Thema. Darf ich dazu mal eine Frage stellen?
(G1) und (G2) konnte ich dazu beweisen.
Aber wie beweise ich (G2), also:
- 1. e (neutrales Element) $ [mm] \circ [/mm] $ a = a
- 2. es gibt ein inveres Element a´ $ [mm] \in [/mm] $ G mit a´ [mm] \circ [/mm] a = e
__________________
Ich kann anfangen, aber komme zu nichts sinnvollem.
e [mm] \oplus [/mm] a = e + a + e*a
Darf ich jetzt für das neutrale Element richtige Werte einsetzen? Bin jetzt ja bei doch bekannten Rechenzeichen.
(Ich dachte mir, dass neutrale Element in der Addition ist 0 und bei der Multiplikation 1)
e + a + e*a = 0 + a + 1*a = 2a
Das kanns auch nicht sein.
Ich verseh's einfach nicht.
Bei zweitens bekomme ich übrigens 2e raus.
Hat da jemand einen richten Denkanstoß?
Das von mir hier ist nur hilfloses Gezucke.
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Hallo zehn,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Löse die Gleichung $e [mm] \oplus [/mm] a \ = \ a$ auf:
$$e [mm] \oplus [/mm] \ a \ = \ e+a+e*a \ = \ a$$
Diese Gleichung nun auflösen. Gibt es ein eindeutiges $e_$ (also nicht in Abhängigkeit von $a_$ )?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 So 25.10.2009 | | Autor: | zehn |
Vielen Dank für die nette Begrüßung und - das war eine verdammt schnelle Antwort :)
Dann komme ich mal kurz zurück auf meine Frage.
Ich rechne mal mit meinem noch Schulmathe vor und du kannst vielleicht einmal gucken ob das so richtig ist. (Ich schreibe die Zwischenschritte zur Übersicht daneben)
e [mm] \oplus [/mm] a = a
e+a+ea = a |-a
e+ea = 0 | ausklammern
e*(1+a) = 0 |:(1+a) wegen $ [mm] (\IR\ [/mm] $ \ $ [mm] \{-1\}, \oplus) [/mm] $ kann (1+a) nicht 0 ergeben
e = 0
Ist das so richtig?
Jetzt könnte ich für e die 0 einsetzten
e+a+ea = a
0+a+0 =a
a = a
Also wäre e [mm] \oplus [/mm] a = a
Das sieht schon wieder sehr merkwürdig und nicht korrekt aus.
War es wenigstens die richtige Richtung?
Auf jeden Fall schon einmal Danke!
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Hallo,
> Vielen Dank für die nette Begrüßung und - das war eine
> verdammt schnelle Antwort :)
>
> Dann komme ich mal kurz zurück auf meine Frage.
> Ich rechne mal mit meinem noch Schulmathe vor und du kannst
> vielleicht einmal gucken ob das so richtig ist. (Ich
> schreibe die Zwischenschritte zur Übersicht daneben)
>
> e [mm]\oplus[/mm] a = a
> e+a+ea = a |-a
> e+ea = 0 | ausklammern
> e*(1+a) = 0 |:(1+a) wegen [mm](\IR\[/mm] \ [mm]\{-1\}, \oplus)[/mm]
> kann (1+a) nicht 0 ergeben
> e = 0
>
> Ist das so richtig?
Ja das stimmt.
> Jetzt könnte ich für e die 0 einsetzten
> e+a+ea = a
> 0+a+0 =a
> a = a
>
> Also wäre e [mm]\oplus[/mm] a = a
>
> Das sieht schon wieder sehr merkwürdig und korrekt aus.
Aber so ein neutrales Element haben wir doch gesucht für das das gilt
> War es wenigstens die richtige Richtung?
Naja, aus etwas Wahrem etwas Wahres zu folgern ist kein Beweis,
versuchen wirs doch mal folgendermaßen:
Seien 0, a [mm] \in \IR \backslash \{-1\}, [/mm] dann gilt:
0 [mm] \oplus [/mm] a= 0+ a+ 0*a= a
[mm] \Rightarrow [/mm] 0= [mm] e_{G} [/mm]
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:35 So 25.10.2009 | | Autor: | zehn |
Spock würde sagen: "Faszinierend."
Gut. Danke noch einmal für die schnelle Hilfe. Ich spüre wie sich meine Zahnräder im Kopf weitergedreht haben.
Ich probier das gleich noch mal am nächsten Fall durch.
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