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Hallo, ich bin mal wieder mit mein Latein am Ende.
Ich habe die Gleichung a³ + b³ = c³ und soll beweisen, dass 21/abc.
Mir fällt zum Anfang auch nichts ein, vielleicht richtet man sich nach der Primfaktorzerlegung.
21 = 3 * 7 nach der Primfaktorzerlegung ?
Selbst wenn ich nur verschiedene natürliche Zahlen einsetze, komm ich nicht auf den Beweis.
Mein Problem ist, dass ich nicht ein Beweis durchführe, sondern nur Beispiele finde und das ist definitiv falsch.
Bin für jede kleinste Hilfe dankbar!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:32 So 02.01.2005 | | Autor: | e.kandrai |
Hab ich hier bei mir nen Darstellungsfehler, oder schreibst du wirklich "...und zeige, dass 21/abc."?
Leider versteh ich überhaupt nicht, was hier gezeigt werden soll.
Falls du irgendwelche ganzzahligen Lösungen finden willst, dann gib lieber gleich auf 
Es wurde schon vor 10 Jahren (nach 7jähriger Arbeit) bewiesen, dass die Gleichung [mm]a^n+b^n=c^n[/mm] für [mm]n \ge 3[/mm] keine ganzzahligen Lösungen für a, b und c besitzen kann ("Fermats großer Satz").
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:02 So 02.01.2005 | | Autor: | noangel-1 |
Hallo, ich bin mal wieder mit mein Latein am Ende.
Ich habe die Gleichung a³ + b³ = c³ und soll beweisen, dass 21/abc.
Mir fällt zum Anfang auch nichts ein, vielleicht richtet man sich nach der Primfaktorzerlegung.
21 = 3 * 7 nach der Primfaktorzerlegung ?
Selbst wenn ich nur verschiedene natürliche Zahlen einsetze, komm ich nicht auf den Beweis.
Mein Problem ist, dass ich nicht ein Beweis durchführe, sondern nur Beispiele finde und das ist definitiv falsch.
Bin für jede kleinste Hilfe dankbar!!
Also ich habe nur die obige Gleichung vorgegeben und soll zeigen, dass 21 abc teilt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:53 So 02.01.2005 | | Autor: | moudi |
Abgesehen davon, dass die Gleichung keine nicht trivialen Lösungen hat (was man schon seeeehr lange weiss) besitzt sie doch die Lösung z.B. (a=-5, b=5, c=0) oder (a=1, b=0, c=1) und man kann trotzdem versuchen zu zeigen, dass 21 das Produkt abc teilt. Das wird man wohl zeigen, indem zeigt, dass 3 und 7 das Produkt abd teilt, d.h. 3 teilt eine der Zahlen a, b, c und 7 teilt eine der Zahlen a, b, c.
Aber für 7. Dazu schaut man sich die Zahlen Modulo 7 an. Und schaut sich mal die dritten Potenzen Modulo sieben an.
Man erhält folgende Tabelle
[mm] \begin{array}{cc}
x & x^3 \operatorname{mod} 7 \\\hline
0 & 0 \\
1 & 1 \\
2 & 6 \\
3 & 6 \\
4 & 1 \\
5 & 6 \\
6 & 6 \\
\end{array}
[/mm]
Man sieht leicht eine, dass eine der Zahlen a, b, c gleich 0 sein muss Modulo 7, wenn das Zahlentripel Lösung sein soll.
Jetzt denkt man, dass man für 3 das gleiche Modulo 3 macht, aber das funktioniert nicht! ![[aetsch]](/images/smileys/aetsch.gif "[aetsch]") .
Man schaut sich die Sache Modulo 9 an ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]") .
Die gleiche Tabelle
[mm] \begin{array}{cc}
x & x^3 \operatorname{mod} 9 \\\hline
0 & 0 \\
1 & 1 \\
2 & 8 \\
3 & 0 \\
4 & 1 \\
5 & 8 \\
6 & 0 \\
7 & 1 \\
8 & 8 \\
\end{array}
[/mm]
Man sieht leicht eine, dass eine der Zahlen a, b, c durch 3 teilbar sein muss Modulo 9, also selbst durch 3 teilbar sein muss.
mfG Moudi
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Hallo,
danke erstmal, da wär ich von alleine nicht drauf gekommen. Ich verstehe es auch, bis modulo 9. Warum rechnet man mit modulo 9 weiter?? 3 und 7 kommt von der Primfaktorzerlegung oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Mo 03.01.2005 | | Autor: | moudi |
Rechnet man die Gleichung [mm]a^3+b^3=c^3[/mm] Modulo 3, so kann man nicht schliessen, dass eine der Zahlen a, b, c durch 3 teilbar ist. Denn Modulo drei sind die Potenzen
[mm]0^3=0 \operatorname{mod} 3, 1^3=1 \operatorname{mod} 3 \
\mbox{ und } \ 2^3=2 \operatorname{mod} 3[/mm].
Es könnte also sein, dass a=1 mod 3, b=1 mod 3 und c=2 mod 3. Das ist
nicht ausgeschlossen. Darum probiert man halt das nächstbeste, und das
in diesem Fall Modulo 9.
Und wie es im Leben so ist, Erfolg hat immer Recht.
mfG Moudi
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