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| Aufgabe | Sei die Funktion f: [a,b] [mm] \to [/mm] R auf ]a,b[ differenzierbar und sei die Ableitung f´stetig auf [a,b].
Zeigen Sie:
[mm] \exists [/mm] c [mm] \in [/mm] R>0 [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \exists [/mm] [a,b] (|f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] c*|x-y|). |
Hallo!
Habe eine Fallunterscheidung gemacht: f konstant/nicht konstant.
Bei f nicht konstant komm ich nicht weiter.
Da f(x) [mm] \not= [/mm] f(y) (weil nicht konstant) folgt
|f(x)-f(y)|>0
Aus |f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] c*|x-y| folgt
[mm] \bruch{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} \le [/mm] c
Da [mm] \bruch{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} [/mm] = f´(x), folgt
f´(x)<c
Das ist, was ich bisher zu dem Fall habe. Aber damit komm ich auf kein Ergebnis. Wäre nett, wenn mir jemand weiter helfen könnte!
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Guten Abend.
Also fangen wir mal an. Du hast in deinem Beweis ja schon das zu beweisende Verwendet. Das geht nicht!
Fang mal so an.
f(x) ist ja stetig diff-bar auf (a,b) und die Ableitung f'(x) ist stetig auf [a,b].
Eine stetige Funktion nimmt auf einem Kompakten Intervall ihr Maximum an. d.h [mm] \exists [/mm] M [mm] \in \IR: |f'(x)|\le M<\infty \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [a,b]. Jetzt verwende den Mittelwertsatz. Was sagt der Dir?
Die Kombination aus Mittelwertsatz und der obigen überlegung liefert die Behauptung
Einen schönen Abend noch
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