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| Aufgabe 1 | Sei [mm]d:A\rightarrow X, f:X\rightarrow Y ,e:B\rightarrow Y, g:A\rightarrow B[/mm] ein kommutatives Diagramm von Abbildungen, und d und e seien bijektiv.Man beweise: g ist genau dann injektiv, wenn f injektiv ist.
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| Aufgabe 2 | Für [mm] \alpha\in [/mm] K definieren wir:
[mm] U_{\alpha}=[(x_1,x_2,x_3)\in K^3|x_1+x_2+x_3=\alpha]
[/mm]
[mm] Beweise:U_{\alpha} [/mm] ist genau dann ein Untervektorraum von [mm] K^3, [/mm] wenn [mm] \alpha=0. [/mm] |
Hallo!
Da ich mit Beweisen so gut wie keine Erfahrung habe und keine Lösungen besitze möchte ich euch um Hilfe bitten:
Meine Idee:
1.
Wenn f injektiv ist muss gelten:
Für alle [mm]d(a_1),d(a_2) \in X[/mm] mit [mm]f(d(a_1))=f(d(a_2))[/mm] ist [mm]d(a_1)=d(a_2)[/mm]
Wenn g injektiv ist muss gelten:
Für alle [mm]a_1,a_2 \in A [/mm]mit [mm]g(a_1)=g(a_2)[/mm] ist [mm]a_1=a_2[/mm]
Da d bijektiv ist muss Aufgrund [mm]d(a_1)=d(a_2) [/mm]auch [mm]a_1=a_2[/mm] sein.Daraus folgt die Behauptung.
2.
Es seien [mm] (x_1,x_2,x_3) [/mm] und [mm] (y_1,y_2,y_3) [/mm] Elemente von [mm] U_{\alpha} [/mm] dann muss gelten:
[mm] x_1+x_2+x_3=\alpha
[/mm]
[mm] y_1+y_2+y_3=\alpha
[/mm]
Weil [mm] U_{\alpha} [/mm] ein Untervektoraum von K ist muss auch [mm] (x_1,x_2,x_3)+(y_1,y_2,y_3)=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)\in U_{\alpha} [/mm] sein und es muss gelten:
[mm] x_1+y_1+x_2+y_2+x_3+y_3=\alpha
[/mm]
Dies ist jedoch für alle [mm] \alpha\in [/mm] K ein Wiederspruch für die nicht [mm] 2\alpha=\alpha [/mm] gilt.Also für alle [mm] \alpha\not=0.
[/mm]
Es muss aber auch für [mm] a\in [/mm] K und [mm] (x_1,x_2,x_3)\in U_{\alpha} [/mm] gelten:
[mm] a(x_1,x_2,x_3)=(ax_1,ax_2,ax_3)\in U_{\alpha}
[/mm]
Es muss wieder gelten:
[mm] x_1+x_2+x_3=\alpha
[/mm]
Also auch:
[mm] ax_1+ax_2+ax_3=\alpha
[/mm]
Dies ist für alle [mm] \alpha\in [/mm] K ein Wiederspruch für die nicht [mm] \frac{\alpha}{a}=\alpha [/mm] gilt.Also für alle [mm] \alpha\not=0.
[/mm]
Weiters muss für [mm] \alpha=0 [/mm] bewiesen werden dass [mm] U_{\alpha} [/mm] keine leere Menge ist.Dazu ist nur zu zeigen, das [mm] \alpha [/mm] mindestens ein Element enthält.
Sei [mm] (x_1=1,x_2=1,x_3=-2)\in K^3 [/mm] dann erfüllen sie 1+1+(-2)=0
Stimmt es so?
Gruß
Angelika
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 25.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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