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| Aufgabe | Es sei f: M [mm] \to [/mm] N eine Abbildung. Zeigen Sie:
f injektiv [mm] \gdw [/mm] f(M\ A) [mm] \subset [/mm] N\ f(A) für alle A [mm] \subset [/mm] M |
Ich wäre sehr dankbar für Lösungsansätze beziehungsweise die vorgehensweise zu dieser Problematik.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:00 Do 23.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Es sei f: M [mm]\to[/mm] N eine Abbildung. Zeigen Sie:
> f injektiv [mm]\gdw[/mm] f(M\ A) [mm]\subset[/mm] N\ f(A) für alle A [mm]\subset[/mm]
> M
> Ich wäre sehr dankbar für Lösungsansätze beziehungsweise
> die vorgehensweise zu dieser Problematik.
Hübsche Aufgabe... Bist du im ersten Semester? Eigentlich ist das ziemlich "straight forward", du musst dir nur überlegen, was eigentlich zu zeigen ist und dann konsequent die Definitionen auseinandernehmen. Ich zeig dir mal die Hinrichtung:
Beh: f injektiv [mm] $\Rightarrow \forall A\subset M:f(M\setminus A)\subset N\setminus [/mm] f(A)$
Sei also [mm] $A\subset [/mm] M$ beliebig und [mm] $y\in f(M\setminus [/mm] A)$. Dann ist $y=f(x)$ für ein [mm] $x\in M\setminus [/mm] A$. Wir müssen zeigen, dass [mm] $y\not\in [/mm] f(A)$ ist. Nun, angenommen das wäre nicht so, dann gäbe es ein [mm] $x'\in [/mm] A$ mit $f(x')=y=f(x)$ und mit der Injektivität würde folgen $x=x'$, was nicht sein kann, da [mm] $x\not\in [/mm] A$ und [mm] $x'\in [/mm] A$.
Für die Rückrichtung kannst du z.B. annehmen, es gäbe [mm] $x,x'\in [/mm] M$ mit [mm] $x\ne [/mm] x'$ und $f(x)=f(x')$. Dann wählst du [mm] $A:=\{x\}$ [/mm] in der Voraussetzung und erhälst sicher einen Widerspruch... (am Besten, du malst dir mal ein Bildchen dazu). Schöner wär es natürlich das alles direkt zu beweisen, aber du kannst ja noch ein bissl knobeln.
Gruß, Robert
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Danke erstmal für die Antwort! Diese hilft mir schon mal weiter den allgemeinen Kontext dieser Aufgabe besser zu verstehen! Was ich aber noch nicht verstehe ist wieso ich zeigen muss das y [mm] \not\in [/mm] f(A) sein darf.
mfg Seamus
ps. Ja ich bin Erstsemester 
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Wenn y [mm] \in [/mm] f(A) hättest dann wäre die Folge davon dass [mm] y\not\in [/mm] N\ f(A) sein kann dass ja N ohne f(A) bedeutet. und du musst ja bei injektivität zeigen dass x=x ist bzw y=y.
Korrigier mich einer wenn ich falsch liege.
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