Beweis zur Indikatorfktn < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 Fr 01.07.2005 | | Autor: | Toyo |
Hallo, habe folgende Aufgabe gelöst, aber mein Tutor findet diese Lösung nicht gut, könnt Ihr mich vielleicht verbessern?
Aufgabe lautet:
Die Indikatorfunktion [mm] X_A [/mm] einer menge [mm] A \subseteq X [/mm] ist durch
[mm] X_A [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{für } x \in A \\ 1, & \mbox{für } x \not\in A \end{cases}
[/mm]
definiert. Beweisen Sie:
[mm] A = \limes_{n\rightarrow\infty} A_n \gdw X_A = \limes_{n\rightarrow\infty} X_{A_n} [/mm]
Mein Ansatz dazu lautet:
[mm] x \in A \gdw \exists n_0 \in \IN : x \in A_n \gdw \forall n \ge n_0 \mbox{gilt} x \in A_n [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} X_{A_n} (x) = 1 \mbox \forall x \ge n_0 [/mm]
[mm] \limes_{n \ge n_0} X_{A_n} = \begin{cases} 1, & k \ge 0 \\ 0 oder 1, & sonst \end{cases} [/mm]
[mm] x \not\in A [/mm] dann: [mm] \exists n_1 \in \IN : x \not\in A_n [/mm]
[mm] \gdw \forall n \ge n_1 [/mm] gilt [mm] x [mm] \not\in A_n[/mm] [mm]
Sei jetzt [mm] k := max {n_0, n_1} [/mm]
dann :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} X_{A_n} (x) = \begin{cases} 1, & x \in X_{A_n} \\ 0, & x \not\in X_{A_n} \end{cases} [/mm]
Meine Frage ist:
Wie ist eingentlich genau [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} A_n [/mm] definiert, wenn [mm] (A_n)_{n=1,2, \ldots} [/mm] eine Teilmenge einer Grundmenge [mm] M [/mm] ist?
Bin für jeder Verbesserung oder vielleicht auch für einen von euch verfassten Beweis sehr dankbar.
Viele Grüße Toyo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 Fr 01.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Toyo!
Nach dem Lesen dieses Threads sollte dir alles klar sein.
Im Falle [mm] $\limsup\limits_{n \to \infty} A_n [/mm] = [mm] \liminf\limits_{n \to \infty} A_n$ [/mm] nennt man
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} A_n [/mm] := [mm] \limsup\limits_{n \to \infty} A_n$ [/mm] ($= [mm] \liminf\limits_{n \to \infty} A_n$) [/mm]
den Grenzwert der Mengenfolge [mm] $(A_n)_{n \in \IN}$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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