Beweis zu a^2+4a+5>0 < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 So 13.05.2007 | | Autor: | lubalu |
| Aufgabe | Seien [mm] a,b,c\in\IR
[/mm]
a) [mm] a^2+4*a+5>0
[/mm]
b) [mm] a^2+b^2+c^2+1/a^2+1/b^2+1/c^2\ge6 [/mm] |
Hallo.
Also bei a) hab ich folgendes. Bitte um Korrektur,falls ich falsch liege!
[mm] a^2+4*a+5=a^2+4*a+4-4+5=(a+2)^2+5>0, [/mm] weil [mm] (a+2)^2>0 [/mm] und 5>0. Fertig!
Aber bei b) hab ich meine Probleme. Ich hab jetzt mal die [mm] a^2,b^2 [/mm] und [mm] c^2 [/mm] erweitert und alles auf den Hauptnenner [mm] a^2*b^2*c^2 [/mm] gebracht. Dann erhalte ich folgenden Term:
[mm] (a^4*b^2*c^2+b^2*c^2+a^2*b^4*c^2+a^2*c^2+a^2*b^2*c^4+a^2*b^2)/(a^2*b^2*c^2)
[/mm]
Soweit so gut, aber wie zeig ich jetzt,dass des [mm] \ge6 [/mm] ist? Der Nenner ist ja >0, aber es müssten ja dann alle 6 Summanden im Zähler [mm] \ge1 [/mm] sein,dass der ganze Term [mm] \ge6 [/mm] ist,oder?! Oder lieg ich da ganz falsch?!
Vielen Dank schon mal!
Grüße, Marina
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 So 13.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo lubalu!
Aufgabe a.) hast Du richtig gelöst. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Meinst Du bei Aufgabe b.) folgenden Ausdruck?
[mm] $a^2+b^2+c^2+\bruch{1}{a^2}+\bruch{1}{b^2}+\bruch{1}{c^2} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 6$
Dann verstehe ich nicht, wo die Terme wie z.B. [mm] $+b^2*c^2$ [/mm] herkommen beim erweitern.
Bei meiner Variante einfach mal die Ungleichung mit [mm] $a^2*b^2*c^2$ [/mm] multiplizieren und anschließend [mm] $-6*a^2*b^2*c^2$ [/mm] rechnen und durch Ausklammern auf insegsamt 3 binomische Formeln "verteilen" ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:02 So 13.05.2007 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo,
gehst du über die quadratische Ergänzung heißt es:
[mm] a^{2}+4a+5=(a+2)^{2}+ [/mm] 1
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:07 So 13.05.2007 | | Autor: | lubalu |
Hi Steffi.
Ja,stimmt...Hab mich bloß vertippt, da steht eine Einser und keine 5...Habs aber in meinem ÜB schon richtig geschrieben. Aber danke trotzdem!
Grüße Marina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 So 13.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
es ist viel leichter zu zeigen dass für alle reellen zahlen a gilt [mm] a^2+1/a^2\ge [/mm] 2 wobei du [mm] a^2>1 [/mm] annehmen kannst da sonst [mm] 1/a^2>1.
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 So 13.05.2007 | | Autor: | lubalu |
Ah ja,ok. Vielen Dank euch beiden! Dann kann ich das auch für [mm] b^2 [/mm] und [mm] c^2 [/mm] behaupten und dann stimmt das ja, dass diese 3 Summanden addiert dann [mm] \ge6 [/mm] ergeben, oder?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 So 13.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo lubalu!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 So 13.05.2007 | | Autor: | lubalu |
Ok,supi... Vielen Dank.
Dann muss ich wohl eh nicht erweitern und so doof rumrechnen, wenns auch einfacher geht...
Grüße,Marina
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