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| Aufgabe | Für t > 0 betrachten Sie die Integrale [mm] F(t) := \integral_{0}^{\infty}{e^{-tx^2} cos(x^2) dx}[/mm] und [mm] G(t) := \integral_{0}^{\infty}{e^{-tx^2} sin(x^2) dx}[/mm]
Beweisen Sie:
a) [mm] F(t)^2 - G(t)^2 = \bruch{\pi}{4} \bruch{t}{t^2 + 1}[/mm]
b) [mm] 2F(t)G(t) = \bruch{\pi}{4} \bruch{1}{1 + t^2}[/mm]
c) Es gilt G(t) > 0. Bestimmen Sie F(t) und G(t). |
Hallo zusammen!
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Habe leider keine Idee wie man da vorgehen muss.... :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 So 07.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Für t > 0 betrachten Sie die Integrale [mm]F(t) := \integral_{0}^{\infty}{e^{-tx^2} cos(x^2) dx}[/mm]
> und [mm]G(t) := \integral_{0}^{\infty}{e^{-tx^2} sin(x^2) dx}[/mm]
>
> Beweisen Sie:
> a) [mm]F(t)^2 - G(t)^2 = \bruch{\pi}{4} \bruch{t}{t^2 + 1}[/mm]
> b) [mm]2F(t)G(t) = \bruch{\pi}{4} \bruch{1}{1 + t^2}[/mm]
> c)
> Es gilt G(t) > 0. Bestimmen Sie F(t) und G(t).
> Hallo zusammen!
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> Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Habe leider
> keine Idee wie man da vorgehen muss.... :-(
Tipp: Schreibe:
[mm] F(t)^2 = \left(\integral_{0}^{\infty}{e^{-tx^2} cos(x^2) dx}\right) * \left(\integral_{0}^{\infty}{e^{-ty^2} cos(y^2) dy}\right) [/mm]
und analog [mm] $G(t)^2$ [/mm] als Doppelintegral über x und y und transformiere in Polarkoordinaten.
Teilaufgabe b geht analog, und c folgt unmittelbar aus den anderen beiden.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:33 So 07.12.2008 | | Autor: | new_franky |
Hallo Rainer,
ich kann das zwar nicht so einfach aus dem Ärmel schütteln, aber ich werd mein bestes versuchen wenigstens Ansätze hinzubekommen....
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:24 Mo 08.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Das geht wie die Berechnung des Fehlerintegrals über ganz [mm] $\IR$, [/mm] siehe ![[]](/images/popup.gif) hier, unter der Überschrift Normierung.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:30 Mo 08.12.2008 | | Autor: | new_franky |
Hi,
hatte es jetzt auch schon so hinbekommen.
Ziemlich viel Schreibarbeit, ein wenig mit Polarkoordinaten spielen, umformen, partielle Integration, ....
Ist ja alles an sich nicht total schwer, aber man muss erstmal drauf kommen.
Danke nochmal.
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