Beweis zu Gleichungssystemen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 So 04.05.2008 | | Autor: | MasterEd |
| Aufgabe | Gegeben seien die beiden Polynome f und g jeweils vom Grad n. Zeigen Sie:
1.) Für eine beliebige Stelle $x=a$ seien der Funktionswert $f(a)$ sowie die Funktionswert der ersten n Ableitungen von f durch [mm] $f^{(1)}(a)$, [/mm] ..., [mm] $f^{(n)}(a)$ [/mm] bekannt. Dann existiert eine Funktion f mit diesen Eigenschaften und sie ist eindeutig bestimmt.
2.) Es seien n Punkte [mm] $P_0(x_0|y_0)$, [/mm] ..., [mm] $P_n(x_n|y_n)$ [/mm] gegeben. Die x-Werte der Punkte seien paarweise verschieden, d.h. es gelte [mm] $x_i\not =x_j$ [/mm] für [mm] $i\not=j$ [/mm] für alle [mm] $0\le i,j\le [/mm] n$. Dann existiert ein Polynom g, dessen Graph durch alle Punkte [mm] $P_0$ [/mm] bis [mm] $P_n$ [/mm] verläuft und die Gleichung von g ist eindeutig bestimmt. |
Hallo,
leider komme ich mit beiden Beweisaufgaben nicht weiter. Meine Idee war, das jeweils entstehende lineare Gleichungsystem für ein allgemeines a aufzuschreiben dann irgendwie über Matrizen zu zeigen, dass die Matrix invertierbar ist und das Gleichungsystem somit eindeutig lösbar. Die Verallgemeinerung von n könnte man ja vielleicht mit vollständiger Induktion in den Griff kriegen, aber ich kriege einen Beweis nicht mal für den Spezialfall $n=3$ und $a=1$ hin.
Vielleicht kann mir jemand helfen? Ich wäre Euch echt dankbar! (Diese Frage habe ich nirgendwo sonst gestellt.)
Vielen Dank!!!
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> Gegeben seien die beiden Polynome f und g jeweils vom Grad
> n. Zeigen Sie:
>
> 1.) Für eine beliebige Stelle [mm]x=a[/mm] seien der Funktionswert
> [mm]f(a)[/mm] sowie die Funktionswert der ersten n Ableitungen von f
> durch [mm]f^{(1)}(a)[/mm], ..., [mm]f^{(n)}(a)[/mm] bekannt. Dann existiert
> eine Funktion f mit diesen Eigenschaften und sie ist
> eindeutig bestimmt.
Es lohnt sich, eine Koordinatentransformation durchzuführen:
Sei [mm] \bar{f}(x) [/mm] = f(x-a). [mm] \bar{f} [/mm] hat auch den Grad n und lässt
sich schreiben als [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] x + [mm] a_2 x^2 [/mm] + ..... + [mm] a_n x^n [/mm] .
Die Koeffizienten [mm] a_k [/mm] lassen sich aus den vorgegebenen Werten
eindeutig bestimmen. Es gilt:
[mm] a_k [/mm] = [mm] \bruch{f^{(k)}(a)}{k!} [/mm]
> 2.) Es seien n Punkte [mm]P_0(x_0|y_0)[/mm], ..., [mm]P_n(x_n|y_n)[/mm]
> gegeben. Die x-Werte der Punkte seien paarweise
> verschieden, d.h. es gelte [mm]x_i\not =x_j[/mm] für [mm]i\not=j[/mm] für
> alle [mm]0\le i,j\le n[/mm]. Dann existiert ein Polynom g, dessen
> Graph durch alle Punkte [mm]P_0[/mm] bis [mm]P_n[/mm] verläuft und die
> Gleichung von g ist eindeutig bestimmt.
Zu 2.) nur ein Zitat aus Wikipedia "Interpolation":
Zu n + 1 paarweise verschiedenen Datenpunkten gibt es genau ein Interpolationspolynom n-ten Grades, dass an den vorgegebenen Stützstellen mit den vorgebenen Stützwerten übereinstimmt . Die Bestimmung der Koeffizienten erfordert die Lösung eines linearen Gleichungssystems. Die Existenz eines solchen Interpolationspolynoms sieht man z. B. mit Hilfe der Formel von Lagrange
[mm] p(x)=\sum_{i=0}^{n}\,f_i\prod_{k=0,k\neq i}^n{{x-x_k} \over {x_i-x_k}}.
[/mm]
Die Eindeutigkeit folgt aus der bekannten Tatsache, dass ein Polynom n-ten Grades höchstens n Nullstellen besitzt.
ich hoffe, dass dir diese Angaben weiter helfen
lg al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:39 So 15.06.2008 | | Autor: | MasterEd |
Hallo,
ich dachte eigentlich, ich hätte es verstanden... Also die Berechnung der Koeffizienten, die Existenz und die Lagrange-Basis verstehe ich ja. Aber der folgende Satz in der Antwort macht mir Probleme:
"Die Eindeutigkeit folgt aus der bekannten Tatsache, dass ein Polynom n-ten Grades höchstens n Nullstellen besitzt."
Also angenommen p ist mein Interpolationspolynom und ich will zeigen, dass es eindeutig bestimmt ist. Der Ansatz ist doch so, dass ich sage, q ist ein zweites Interpolationspolynom und dann beweise ich $p=q$. Ich habe auch schon gesehen, dass manche die Differenzfunktion $f=p-q$ betrachten, diese hat eine Nullstelle an allen Stützstellen von p bzw. von q. Bei n Stützstellen sind die Funktionen p und q vom Grad n oder kleiner, jedoch ist f vom Grad n, weil f ja n Nullstellen besitzt. Daraus folgt für mich nur, dass von p und q auch mindestens eine vom gleichen Grad n sein muss, aber es folgt nicht (zumindest verstehe ich es nicht), wieso nun auch $p=q$ sein soll.
Kann mir da jemand weiterhelfen? Ich habe diese Frage nirgendwo sonst gestellt.
Vielen Dank!
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Hallo MasterEd,
[mm] P_0 [/mm] , [mm] P_1 [/mm] , [mm] P_2 [/mm] , ..... [mm] P_n [/mm] sind (n+1) Punkte, nicht nur n !
(das stand schon in der Aufgabe falsch...)
LG al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:49 Mo 16.06.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> [mm]P_0[/mm] , [mm]P_1[/mm] , [mm]P_2[/mm] , ..... [mm]P_n[/mm] sind (n+1) Punkte, nicht nur
> n !
>
> (das stand schon in der Aufgabe falsch...)
Man braucht doch immer n+1 Angaben.
Beispiel:
Um eine Gerade (Gleichung 1. Grades, also n=1) eindeutig festzulegen, braucht man entweder 2 Punkte oder 1 Punkt und die Steigung
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Das hier ist zwar kein "Beweis" im klassischen Sinne, aber es erklärt, warum das so ist:
f(x) = [mm] a_{0}*x^{0} [/mm] + [mm] a_{1}*x^{1} [/mm] + ... + [mm] a_{n}*x^{n}
[/mm]
[mm] f^{(1)}(x) [/mm] = [mm] 1*a_{1}*x^{0} [/mm] + ... + [mm] n*a_{n}*x^{(n-1)}
[/mm]
...
[mm] f^{(n-1)}(x) [/mm] = [mm] a_{n}*n!*x [/mm]
Wenn man jetzt (für Aufgabe 1) die entsprechenden Werte für x bzw. [mm] f^{(s)}(x) [/mm] einsetzt, dann ergeben sich genau n Gleichungen mit n Unbekannten. (s sei die jeweilige Ableitung.)
Und ein solches System ist eindeutig lösbar.
Für Aufgabe 2 ist es genau so - da braucht man nicht einmal Ableitungen.
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