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| Aufgabe | Zu zeigen: [mm] \wurzel{n}*n \ge \wurzel{n}+n [/mm]
für alle n [mm] \ge [/mm] 3 |
Hat jemand eine Idee wie man dies zeigen könnte?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 Di 29.03.2011 | | Autor: | abakus |
> Zu zeigen: [mm]\wurzel{n}*n \ge \wurzel{n}+n[/mm]
> für alle n [mm]\ge[/mm] 3
> Hat jemand eine Idee wie man dies zeigen könnte?
Mit vollständiger Induktion (Induktionsanfang hier: n=3).
Gruß Abakus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:25 Di 29.03.2011 | | Autor: | OpenEyess |
| Aufgabe | | Induktionsanfang geht ja auch, ich weiß aber nicht, wie ich dann beim Induktionsschritt vorankommen werde.. |
Danke..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:27 Di 29.03.2011 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo!
Dann probiere es aus und rechne hier mal vor, wie weit Du kommst.
Gruß vom
Roadrunner
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| Aufgabe | Induktionsschritt:
z.z.: [mm] \wurzel{n+1}*(n+1) \ge \wurzel{n+1}+(n+1)
[/mm]
[mm] \wurzel{n+1}*(n+1)
[/mm]
[mm] =n*\wurzel{n+1}+\wurzel{n+1}
[/mm]
nach Induktionsvor. [mm] \ge (\wurzel{n}*n-\wurzel{n})*\wurzel{n+1}+\wurzel{n+1} [/mm] |
ab hier kann ich nicht mehr weiterrechnen..
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Hallo OpenEyess,
> Induktionsschritt:
> z.z.: [mm]\wurzel{n+1}*(n+1) \ge \wurzel{n+1}+(n+1)[/mm]
>
> [mm]\wurzel{n+1}*(n+1)[/mm]
> [mm]=n*\wurzel{n+1}+\wurzel{n+1}[/mm]
> nach Induktionsvor. [mm]\ge (\wurzel{n}*n-\wurzel{n})*\wurzel{n+1}+\wurzel{n+1}[/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Das besagt die IV doch nicht, sondern [mm]n\sqrt{n}\ge n+\sqrt{n}[/mm]
Hier kommst du allein mit der IV nicht aus, sondern musst auch das monotone Wachstum der Wurzelfkt. bzw. Wurzelfolge nutzen!
[mm](n+1)\sqrt{n+1}=n\red{\sqrt{n+1}}+\sqrt{n+1}\ge n\red{\sqrt{n}}+\sqrt{n+1}[/mm] da [mm]\sqrt{}[/mm] mon. wachsend ist
Nun kannst du auf den ersten Summanden die IV anwenden, außerdem ist [mm]\sqrt{n}\ge 1[/mm]
Also ...
>
> ab hier kann ich nicht mehr weiterrechnen..
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:25 Di 29.03.2011 | | Autor: | OpenEyess |
Danke! :) Ich habssss
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Di 29.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zu zeigen: [mm]\wurzel{n}*n \ge \wurzel{n}+n[/mm]
> für alle n [mm]\ge[/mm] 3
> Hat jemand eine Idee wie man dies zeigen könnte?
Ergänzend: Du kannst es auch so machen: setze x= [mm] \wurzel{n} [/mm] und betrachte die Ungleichung
(*) [mm] x^3 \ge x+x^2 [/mm] (x>0)
Für x>0 ist (*) gleichbedeutend mit: [mm] x^2 \ge [/mm] 1+x.
Nun betrachte die Parabel $p(x)= [mm] x^2 [/mm] - 1-x.$. Berechne deren Nullstellen. Dann siehst Du:
für x [mm] \ge \bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] ist p(x) [mm] \ge [/mm] 0.
Ist dann n [mm] \ge [/mm] 3, so ist [mm] \wurzel{n} \ge \wurzel{3} \ge \bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] und somit gilt
[mm]\wurzel{n}*n \ge \wurzel{n}+n[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:37 Di 29.03.2011 | | Autor: | emil |
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