Beweis von Ungleichungen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:47 Mi 30.11.2005 | | Autor: | Faust |
Hallo zusammen,
ich habe da eine Aufgabe mit der ich nicht weiter komme und beitte mal eure Hilfe bräuchte:
Ich soll zeigen, dass für jedes n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] \vektor{n \\ k} \bruch{1}{ n^{k}} \le \bruch{1}{ k!} [/mm]
[mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN_{0}
[/mm]
dazu habe ich mir jetzt zunächst einmal den Binominialkoeffizienten aufgeschrieben und mir die Ungleichung dann so hingeschrieben:
[mm] \bruch{n!}{(n-k)!*n^{k}} \bruch{1}{k!} \le \bruch{1}{k!}
[/mm]
mit 0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n
Diese Ungleichung stimmt jetzt ja, wenn [mm] \bruch{n!}{(n-k)!*n^{k}} \le [/mm] 1 ist und dies ist genau dann der Fall, wenn n! [mm] \le (n-k)!*n^{k} [/mm] ist.
Und hier komme ich jetzt nicht weiter... kann mir bitte jemand Helfen und mir sagen wie ich das beweisen kann, dass n! [mm] \le (n-k)!*n^{k} [/mm] ist ?!?
Vielen Dank im Voraus
MfG
Faust
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:11 Do 01.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [mm]\vektor{n \\ k} \bruch{1}{ n^{k}} \le \bruch{1}{ k!}[/mm]
>
> [mm]\forall[/mm] k [mm]\in \IN_{0}[/mm]
>
> dazu habe ich mir jetzt zunächst einmal den
> Binominialkoeffizienten aufgeschrieben und mir die
> Ungleichung dann so hingeschrieben:
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> [mm]\bruch{n!}{(n-k)!*n^{k}} \bruch{1}{k!} \le \bruch{1}{k!}[/mm]
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> mit 0 [mm]\le[/mm] k [mm]\le[/mm] n
>
> Diese Ungleichung stimmt jetzt ja, wenn
> [mm]\bruch{n!}{(n-k)!*n^{k}} \le[/mm] 1 ist und dies ist genau dann
> der Fall, wenn n! [mm]\le (n-k)!*n^{k}[/mm] ist.
[mm] \bruch{n!}{(n-k)!*n^{k}}=\bruch{n-(k+1)}{n} *\bruch{n-(k+2)}{n}*...*\bruch{n}{n}>1 [/mm] da jeder Faktor kleiner 1 oder statt Pünktchen mit vollst. Induktion!
Gruss leduart
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