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| Aufgabe | Beweisen sie für n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] n\ge2:
[/mm]
a) [mm] \sum_{k=1}^n k\vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] n2^{n-1}
[/mm]
b) [mm] \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}k\vektor{n \\ k} [/mm] = 0
Hinweis: [mm] \sum_{k=0}^n \vektor{n \\ k} x^k [/mm] = (1+ [mm] x)^n x\in \IR
[/mm]
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Hi,
ich habe mal optimistisch mit einer Induktion probiert a) zu beweisen, und bin bis hier hin gekommen:
z.z n ->n+1:
[mm] \sum_{k=1}^{n+1} k\vektor{n+1 \\ k} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{n} k\vektor{n+1 \\ k} [/mm] + 1 = [mm] \sum_{k=1}^{n} k\frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!} +1=\sum_{k=1}^{n} k\frac{n!(n+1)}{k!(n-k)!(n-k+1)} [/mm] +1 [mm] =\sum_{k=1}^n k\vektor{n \\ k} \frac{n+1}{n-k+1} [/mm] + 1
..hier komme ich nicht weiter.
Deswegen habe ich einen anderen Ansatz probiert:
[mm] \sum_{k=1}^n k\vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^n k\frac{n!}{k!(n-k)!} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^n \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n \frac{n!}{(k)!(n-k+1)!} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^n \frac{n!}{(k)!(n-k)!(n-k+1)} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^n \vektor{n\\k}\frac{1}{n-k+1}
[/mm]
hier komme ich nun aber auch nicht weiter, den Hinweis kann ich nicht verwenden wegen dem Bruch am Ende...hat jemand eine Idee?
Snafu
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 Do 27.05.2010 | | Autor: | skoopa |
Hey Snafu!
Ich glaube es müsste im ersten Schritt heißen
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}k \vektor{n+1 \\ k}=\summe_{k=1}^{n}k \vektor{n+1 \\ k}+(n+1)
[/mm]
Vielleicht gehts dann ja durch.
Gruß
skoopa
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Hallo SnafuBernd,
> Beweisen sie für n [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]n\ge2:[/mm]
> a) [mm]\sum_{k=1}^n k\vektor{n \\ k}[/mm] = [mm]n2^{n-1}[/mm]
> b) [mm]\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}k\vektor{n \\ k}[/mm] = 0
> Hinweis: [mm]\sum_{k=0}^n \vektor{n \\ k} x^k[/mm] = (1+ [mm]x)^n x\in \IR[/mm]
>
> Hi,
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> ich habe mal optimistisch mit einer Induktion probiert a)
> zu beweisen, und bin bis hier hin gekommen:
> z.z n ->n+1:
>
> [mm]\sum_{k=1}^{n+1} k\vektor{n+1 \\ k}[/mm] = [mm]\sum_{k=1}^{n} k\vektor{n+1 \\ k}[/mm]
> + 1 = [mm]\sum_{k=1}^{n} k\frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!} +1=\sum_{k=1}^{n} k\frac{n!(n+1)}{k!(n-k)!(n-k+1)}[/mm]
> +1 [mm]=\sum_{k=1}^n k\vektor{n \\ k} \frac{n+1}{n-k+1}[/mm] + 1
> ..hier komme ich nicht weiter.
>
> Deswegen habe ich einen anderen Ansatz probiert:
> [mm]\sum_{k=1}^n k\vektor{n \\ k}[/mm] = [mm]\sum_{k=1}^n k\frac{n!}{k!(n-k)!}[/mm]
> = [mm]\sum_{k=1}^n \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}[/mm] = [mm]\sum_{k=0}^n \frac{n!}{(k)!(n-k+1)!}[/mm]
> = [mm]\sum_{k=1}^n \frac{n!}{(k)!(n-k)!(n-k+1)}[/mm] =
> [mm]\sum_{k=1}^n \vektor{n\\k}\frac{1}{n-k+1}[/mm]
> hier komme ich
> nun aber auch nicht weiter, den Hinweis kann ich nicht
> verwenden wegen dem Bruch am Ende...hat jemand eine Idee?
Benutze direkt den Hinweis!
Außerdem benutze [mm] $k\cdot{}\vektor{n\\k}=n\cdot{}\vektor{n-1\\k-1} [/mm] \ \ [mm] (\star)$
[/mm]
Rechne das mal nach!
Damit [mm] $n\cdot{}2^{n-1} [/mm] \ [mm] \underbrace{=}_{\text{Tipp}} [/mm] \ [mm] n\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{n-1}\vektor{n-1\\k}$
[/mm]
Nun eine Indexverschiebung: k an der Summe um 1 erhöhen und das ausgleichen, indem du k um 1 in der Summe erniedrigst
[mm] $=n\cdot{}\sum\limits_{k=1}^n\vektor{n-1\\k-1} [/mm] \ = \ [mm] \sum\limits_{k=1}^nn\cdot{}\vektor{n-1\\k-1}$
[/mm]
Nun [mm] $(\star)$ [/mm] ...
>
> Snafu
LG
schachuzipus
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Hi,
es passt nur noch an der oberen Summengrenze nicht:
[mm] n2^{n-1} [/mm] =n [mm] \sum_{k=0}^{n-1} \vektor{n-1\\k} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{n-1}n\vektor{n-1\\k-1} =\sum_{k=1}^{n-1} k\vektor{n\\k}
[/mm]
wenn ich die Obergrenze um 1 erhöhe muss ich aber e´-n abziehen =
[mm] \sum_{k=1}^{n} k\vektor{n\\k} [/mm] - n, was wieder nicht passen würde.
Snafu
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Hallo nochmal,
> Hi,
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> es passt nur noch an der oberen Summengrenze nicht:
> [mm]n2^{n-1}[/mm] =n [mm]\sum_{k=0}^{n-1} \vektor{n-1\\k}[/mm] =
> [mm]\sum_{k=1}^{n-1}n\vektor{n-1\\k-1}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") [mm] =\sum_{k=1}^{n-1} k\vektor{n\\k}[/mm]
Hier hast du einen Summanden verloren, du hast in der Ausgangssumme n Summanden, brauchst hier also auch n Summanden.
Die obere Grenze erhöht sich bei der Indexverschiebung mit:
[mm] $\sum\limits_{k=0}^{n-1} \ldots [/mm] \ = \ [mm] \sum\limits_{k=1}^{n} \ldots$
[/mm]
>
> wenn ich die Obergrenze um 1 erhöhe muss ich aber e´-n
> abziehen =
> [mm]\sum_{k=1}^{n} k\vektor{n\\k}[/mm] - n, was wieder nicht passen
> würde.
Doch, es passt, müsste aber eigentlich in meiner anderen Antwort auch so stehen, falls nicht, editiere ich direkt mal ....
>
> Snafu
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:45 Do 27.05.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Hi,
stimmt hab wirklich einen Summanden Verloren [mm] \sum_{k=0}^{n-1} \vektor{n-1\\k} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{n} \vektor{n-1\\k-1} [/mm]
... eine Gleicheit muss ich nur von einer Seite zeigen , stimmts. Andersrum kann man ja einfach rückwärts gehen.
Danke!
Snafu
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