Beweis von Summe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Mi 02.11.2005 | | Autor: | MissYumi |
Hallo ich soll folgendes beweisen:
[mm] \summe_{k=1}^{n}(k² [/mm] - k) = [n(n² - 1)] / 3
für alle n [mm] \ge [/mm] 1.
verändert sich k² - k irgendwie? ich habe folgenden ansatz:
k² - k = (n+1) * [((n+1)² - 1)] / 3
= [(n + 1) * (n² + 2n)] / 3
= [n³ + 3n² + 2n] / 3
wenn ich jetzt für k immer 1 einsetze haut das nicht hin. Muss ich k auch um 1 erhöhen so wie n? Danke schonmal für die hilfe
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Hi, MissYumi,
> Hallo ich soll folgendes beweisen:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}(k²[/mm] - k) = [n(n² - 1)] / 3
>
> für alle n [mm]\ge[/mm] 1.
Verwende doch die Potenzsummen:
[mm] \summe_{k=1}^{n}{k²} [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}
[/mm]
und
[mm] \summe_{k=1}^{n}{k} [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)}{2}
[/mm]
Bei Dir ergibt sich dann:
[mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] - [mm] \bruch{n(n+1)}{3}, [/mm]
was Du leicht zu
[mm] \bruch{n(n^{2}-1)}{3}
[/mm]
umformst!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Mi 02.11.2005 | | Autor: | MissYumi |
Danke... entschuldige aber ich hab das nicht verstanden. Warum wird k² von k getrent?? also 2 verschiedene zeilen?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Warum? Weil es so einfacher ist!  Schließlich kennt man explizite Formeln für [mm] $\sum\limits_{k=1}^n [/mm] k$ und [mm] $\sum\limits_{k=1}^n k^2$.
[/mm]
Erlaubt ist das Ganze auf Grund des Kommutativgesetzes, das für die natürlichen Zahlen bezüglich der Addition gilt.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Mi 02.11.2005 | | Autor: | MissYumi |
??? aha... wo finde ich denn son formeln.. wo steht das? Tschuldigung das ich so blöd frage. Für mich ist das nicht so schlüssig und einfach. Ich dachte ich mach das über Vollständige Induktion. Da muss ich ja nur zeigen das es für n = 1 gilt und für n +1 .. also die Nachfolgenden.. anscheinend habe ich mich geirrt .. :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Die Formeln sollten aus dem Schulunterricht (10. Klasse?) bekannt sein. Naja, es kann aber auch sein, dass ihr es per vollständiger Induktion zeigen sollt (vermutlich, denn sonst wäre die Aufgabe ja auch trivial).
Aber das sollte doch kein Problem darstellen, oder?
Ich schau mir deine Ausgangsfrage noch mal an, denn ich fürchte, dass dies genau deine Frage war. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Okay, dann hier noch der Induktionsschritt:
[mm] $\sum\limits_{k=1}^{n+1} (k^2-k) [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=1}^n (k^2-k) [/mm] + [mm] (n+1)^2 [/mm] - (n+1) = [mm] \frac{n(n^2-1)}{3} [/mm] + [mm] n^2+n [/mm] = [mm] \frac{n^3+3n^2+2n}{3} [/mm] = [mm] \frac{(n+1)((n+1)^2-1)}{3}$.
[/mm]
War doch einfach, oder nicht?
Liebe Grüße
Stefan
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