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Forum "Stetigkeit" - Beweis von Stetigkeit
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Beweis von Stetigkeit: richtiger Ansatz?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:20 Di 07.12.2010
Autor: BarneyS

Aufgabe
Wo ist die Funktion
[mm]f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \in \IQ \\ 1-x, & \mbox{für } x \in \IR \backslash \IQ \end{cases}[/mm]
stetig? Beweisen Sie dieses.


Hallo,
ich tue mich etwas schwer mit den Stetigkeitsdefinitionen. Anhand meines Skriptes würde ich hier so vorgehen:

Die Funktion ist stetig in [mm] $x_0=0,5$, [/mm] denn

[mm]\forall(x_n) \limes_{n\rightarrow\infty}x_n = x_0 = 0,5[/mm] gilt:

[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n) = f(x_0) = 0,5[/mm]

(Ich bin mir aber nicht sicher, denn [mm] $x_0=0,5§ [/mm] ist ja nicht in [mm] $\IR\backslash\IQ$ [/mm] enthalten. Allerdings, eine Folge [mm] $x_n$ [/mm] mit [mm]x \in \IR \backslash \IQ[/mm] kann 0,5 als Grenzwert haben...)

Die Funktion ist unstetig in allen anderen Punkten, da für jedes [mm] $x_0$ [/mm] konvergente Folgen mit verschiedenen Grenzwerten existieren.

Die letzt Aussage müsste man vielleicht noch zeigen, aber ich weiss nicht, wie das gehen soll für alle x?

thx
Barney



        
Bezug
Beweis von Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:51 Di 07.12.2010
Autor: leduart

Hallo
du hast recht, nimm ein beliebiges [mm] x\ne [/mm] 0,5 a) x reell b)x rational und gib jeweils eine folge an, die rational ist und gegen x konvergiert und eine die nicht rational ist. damit hast du, dass die fkt nicht stetig ist.
gruss leduart


Bezug
                
Bezug
Beweis von Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:47 Di 07.12.2010
Autor: BarneyS

Ok, danke für die Antwort. Ist das dann so richtig:

Beweis von Unstetigkeit in allen Punkten [mm] $x_0 \not= [/mm] 0,5$:

Annahme: f(x) ist stetig

[mm]\forall (x_n) x_n \in \IQ \limes_{n\rightarrow\infty} x_n = x_0[/mm] : [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=x_0[/mm]

Aber,

[mm]\forall (x_n) x_n \in \IR \backslash \IQ \limes_{n\rightarrow\infty} x_n = x_0[/mm] : [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=1 - x_0[/mm]

[mm]1-x_0 \not= x_0[/mm]    [mm] \forall x_0 \not= 0,5[/mm]
[mm]\Rightarrow[/mm] unstetig

Bezug
                        
Bezug
Beweis von Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:51 Di 07.12.2010
Autor: fred97


> Ist das dann so richtig:
>  
> Beweis von Unstetigkeit in allen Punkten [mm]x_0 \not= 0,5[/mm]:
>  
> Annahme: f(x) ist stetig
>  
> [mm]\forall (x_n) x_n \in \IQ \limes_{n\rightarrow\infty} x_n = x_0[/mm]
> gilt:
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=x_0[/mm]
>  
> Aber,
>  
> [mm]\forall (x_n) x_n \in \IR \backslash \IQ \limes_{n\rightarrow\infty} x_n = x_0[/mm]
> gilt:
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=1 - x_0[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] Widerspruch


Ist O.K.

FRED


Bezug
                                
Bezug
Beweis von Stetigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:52 Di 07.12.2010
Autor: BarneyS

ups, hab's nochmal minimal geändert. Müsste aber ok sein....
thx

Bezug
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