Beweis von Produkt < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man beweise die folgende Aussage:
a) Sind [mm] a_{1}, [/mm] ..., [mm] a_{n} [/mm] positive reelle Zahlen so gilt:
[mm] \produkt_{i=1}^{n} (1+a_{i}) \ge [/mm] 1 + [mm] \produkt_{i=1}^{n} a_{i} [/mm] |
Hallo
ich habe ein Problem mit der obrigen Aufgabe und zwar fällt mir bei bestem Willen kein Ansatzpunkt ein worüber ich dies nachweisen kann. Kann mir jemand nen kleine Tipp geben?...
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:29 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schmetterfee!
Als spontane Idee fällt mir zunächst ein: vollständige Induktion.
Gruß
Loddar
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Hallo...
gibt es da vll auch noch ne andere Möglichkeit?..Weil die Aufgabe hat auch noch ne Teilaufgabe b) mit:
Sind [mm] a_{1},..., a_{n} [/mm] reelle zahlen mit 0 [mm] \le a_{i} \le [/mm] 1 für alle i [mm] \in [/mm] {1,...,n}, so gilt:
[mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] (1- [mm] a_{i}) \le [/mm] 1- [mm] \produkt_{i=1}^{n} a_{i}
[/mm]
und wenn ich nun Induktion machen würde wäre das doch bei beiden Teilaufgaben fast das gleiche oder nicht?
LG Schmetterfee
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> Hallo...
>
> gibt es da vll auch noch ne andere Möglichkeit?..
Hallo,
bestimmt gibt es noch irgendeine andere Möglichkeit.
Aber vielleicht löst Du die Aufgabe erstmal mit der genannten und naheliegenden Methode? Wenn Du damit nicht zufrieden bist, kannst Du Dir doch anschließend, wenn die Aufgabe in trockenen Tüchern ist, noch etwas Hübscheres überlegen.
> Weil die
> Aufgabe hat auch noch ne Teilaufgabe b) mit:
> Sind [mm]a_{1},..., a_{n}[/mm] reelle zahlen mit 0 [mm]\le a_{i} \le[/mm] 1
> für alle i [mm]\in[/mm] {1,...,n}, so gilt:
> [mm]\produkt_{i=1}^{n}[/mm] (1- [mm]a_{i}) \le[/mm] 1- [mm]\produkt_{i=1}^{n} a_{i}[/mm]
>
> und wenn ich nun Induktion machen würde wäre das doch bei
> beiden Teilaufgaben fast das gleiche oder nicht?
Ja und?
Ist Dir das zu langweilig oder wie?
Ich seh's Problem nicht...
Fang mit Induktion an und vergiß nicht, Deine Lösungsansätze ausführlich hier vorzustellen, falls Du Rückfragen hast.
Gruß v. Angela
>
> LG Schmetterfee
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Hallo,
nein um Gottest Willen zu langweilig ist mir das nicht. Ich wollte mich bloß versuchen um die Induktion zu drücken, weil ich nicht grade gut darin bin. Aber man soll sich ja seinen Problemen stellen und ich habe nun versucht a zu lösen und poste mal meinen Vorschlag:
Induktionsannahme: [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN: \produkt_{i=1}^{n} (1+a_{i}) \ge [/mm] 1 + [mm] \produkt_{i=1}^{n} a_{i} [/mm] , wobei [mm] a_{1}, [/mm] ..., [mm] a_{n} [/mm] positive reelle Zahlen sind
Induktionsanfang: Für n=1: [mm] 1+a_{1} \ge [/mm] 1+ [mm] a_{i}
[/mm]
Induktionsschritt: zuzeigen [mm] \produkt_{i=1}^{n+1} (1+a_{i}) \ge [/mm] 1+ [mm] \produkt_{i=1}^{n+1} a_{i}
[/mm]
[mm] \produkt_{i=1}^{n+1} (1+a_{i})= \produkt_{i=1}^{n}(1+a_{i}) [/mm] * [mm] \produkt_{j=n}^{n+1} (1+a_{j}) [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{n} (1+a_{i}) [/mm] * [mm] (1+a_{n+1}) \ge [/mm] (1+ [mm] \produkt_{i=1}^{n} a_{i}) [/mm] * [mm] (1+a_{n+1}) [/mm] = 1 + [mm] a_{n+1} +\produkt_{i=1}^{n} a_{i} [/mm] + [mm] (\produkt_{i=1}^{n} a_{i} [/mm] * [mm] a_{n+1}) [/mm] = 1 + [mm] a_{n+1} [/mm] + [mm] \produkt_{i=1}^{n} a_{i} [/mm] + [mm] \produkt_{i=1}^{n+1} a_{i} \ge [/mm] 1+ [mm] \produkt_{i=1}^{n+1} a_{i}
[/mm]
soweit meine Idee ich bin mir nur beim letzten Schritt nicht sicher ob ich das so machen kann oder ob da noch irgendwas dazwischen muss... Ich wäre über Hilfe sehr dankbar.
LG Schmetterfee
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Hallo Schmetterfee,
> Hallo,
>
> nein um Gottest Willen zu langweilig ist mir das nicht. Ich
> wollte mich bloß versuchen um die Induktion zu drücken,
> weil ich nicht grade gut darin bin. Aber man soll sich ja
> seinen Problemen stellen und ich habe nun versucht a zu
> lösen und poste mal meinen Vorschlag:
>
> Induktionsannahme: [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN: \produkt_{i=1}^{n} (1+a_{i}) \ge[/mm]
> 1 + [mm]\produkt_{i=1}^{n} a_{i}[/mm] , wobei [mm]a_{1},[/mm] ..., [mm]a_{n}[/mm]
> positive reelle Zahlen sind
>
> Induktionsanfang: Für n=1: [mm]1+a_{1} \ge[/mm] 1+ [mm]a_{\red{i}}[/mm]
Du meinst [mm]a_{\red{1}}[/mm]
>
> Induktionsschritt: zuzeigen [mm]\produkt_{i=1}^{n+1} (1+a_{i}) \ge[/mm] 1+ [mm]\produkt_{i=1}^{n+1} a_{i}[/mm]
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{n+1} (1+a_{i})= \produkt_{i=1}^{n}(1+a_{i})[/mm] * [mm]\produkt_{j=n}^{n+1} (1+a_{j})[/mm] = [mm]\produkt_{i=1}^{n} (1+a_{i})[/mm] * [mm](1+a_{n+1}) \ge[/mm] (1+ [mm]\produkt_{i=1}^{n} a_{i})[/mm] * [mm](1+a_{n+1})[/mm]
> = 1 + [mm]a_{n+1} +\produkt_{i=1}^{n} a_{i}[/mm] + [mm](\produkt_{i=1}^{n} a_{i}[/mm] * [mm]a_{n+1})[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") = 1 + [mm]a_{n+1}[/mm] + [mm]\produkt_{i=1}^{n} a_{i}[/mm] + [mm]\produkt_{i=1}^{n+1} a_{i} \ge[/mm]
> 1+ [mm]\produkt_{i=1}^{n+1} a_{i}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> soweit meine Idee ich bin mir nur beim letzten Schritt
> nicht sicher ob ich das so machen kann oder ob da noch
> irgendwas dazwischen muss... Ich wäre über Hilfe sehr
> dankbar.
Dann versuche doch Stück für Stück zu begründen:
1) Du hast die 1 weggeschätzt, warum geht das? Na, irgendwas +1 ist sicher größer als irgendwas
2) wieso kannst du die Summe [mm]\sum\limits_{i=1}^{n}a_i[/mm] wegschätzen?
Bedenke, dass die [mm]a_i[/mm] allesamt positiv sind, also auch das Produkt.
Du lässt also einen positiven Term weg, verkleinerst also ...
>
> LG Schmetterfee
Gruß
schachuzipus
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Hallo
>
> Dann versuche doch Stück für Stück zu begründen:
>
> 1) Du hast die 1 weggeschätzt, warum geht das? Na,
> irgendwas +1 ist sicher größer als irgendwas
>
> 2) wieso kannst du die Summe [mm]\sum\limits_{i=1}^{n}a_i[/mm]
> wegschätzen?
>
> Bedenke, dass die [mm]a_i[/mm] allesamt positiv sind, also auch das
> Produkt.
>
> Du lässt also einen positiven Term weg, verkleinerst also
> ...
>
Danke für die Erläuterung, dass ist ja ganz logisch. Ich wusste nur nich ob ich das einfach so wegschätzen darf.
Aber wenn das so geht dann wäre das doch bei b analog:
Induktionsannahme: [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN: \produkt_{i=1}^{n} (1-a_{i}) \le[/mm] 1 - [mm]\produkt_{i=1}^{n} a_{i}[/mm] , wobei [mm]a_{1},[/mm] [mm] ...,a_{n} [/mm] reelle Zahlen mit 0 [mm] \le a_{i} \le [/mm] 1 [mm] \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] {1,...,n }
Induktionsanfang: Für n=1: [mm]1-a_{1} \le[/mm] 1- [mm]a_{1}[/mm]
> >
Induktionsschritt: zuzeigen [mm]\produkt_{i=1}^{n+1} (1-a_{i}) \le[/mm] 1- [mm]\produkt_{i=1}^{n+1} a_{i}[/mm]
[mm]\produkt_{i=1}^{n+1} (1-a_{i})= \produkt_{i=1}^{n}(1-a_{i})[/mm] * [mm]\produkt_{j=n}^{n+1} (1-a_{j})[/mm] = [mm]\produkt_{i=1}^{n} (1-a_{i})[/mm] * [mm](1-a_{n+1}) \le[/mm] (1- [mm]\produkt_{i=1}^{n} a_{i})[/mm] * [mm](1-a_{n+1})[/mm]
= 1 - [mm]a_{n+1} -\produkt_{i=1}^{n} a_{i}[/mm] + [mm](\produkt_{i=1}^{n} a_{i}[/mm] * [mm]a_{n+1})[/mm] = 1 - [mm]a_{n+1}[/mm] - [mm]\produkt_{i=1}^{n} a_{i}[/mm] + [mm]\produkt_{i=1}^{n+1} a_{i} \le[/mm] 1- [mm]\produkt_{i=1}^{n+1} a_{i}[/mm]
da kann ich das dann ja auch wieder aus den gleichen Gründen weg schätzen....und dann müsste das doch auch so passen oder?
LG Schmetterfee
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> Hallo
> >
> > Dann versuche doch Stück für Stück zu begründen:
> >
> > 1) Du hast die 1 weggeschätzt, warum geht das? Na,
> > irgendwas +1 ist sicher größer als irgendwas
> >
> > 2) wieso kannst du die Summe [mm]\sum\limits_{i=1}^{n}a_i[/mm]
> > wegschätzen?
> >
> > Bedenke, dass die [mm]a_i[/mm] allesamt positiv sind, also auch das
> > Produkt.
> >
> > Du lässt also einen positiven Term weg, verkleinerst also
> > ...
> >
> Danke für die Erläuterung, dass ist ja ganz logisch. Ich
> wusste nur nich ob ich das einfach so wegschätzen darf.
> Aber wenn das so geht dann wäre das doch bei b analog:
>
> Induktionsannahme: [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN: \produkt_{i=1}^{n} (1-a_{i}) \le[/mm]
> 1 - [mm]\produkt_{i=1}^{n} a_{i}[/mm] , wobei [mm]a_{1},[/mm] [mm]...,a_{n}[/mm]
> reelle Zahlen mit 0 [mm]\le a_{i} \le[/mm] 1 [mm]\forall[/mm] i [mm]\in[/mm] {1,...,n
> }
>
> Induktionsanfang: Für n=1: [mm]1-a_{1} \le[/mm] 1- [mm]a_{1}[/mm]
>
> > >
> Induktionsschritt: zuzeigen [mm]\produkt_{i=1}^{n+1} (1-a_{i}) \le[/mm]
> 1- [mm]\produkt_{i=1}^{n+1} a_{i}[/mm]
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{n+1} (1-a_{i})= \produkt_{i=1}^{n}(1-a_{i})[/mm] * [mm]\produkt_{j=n}^{n+1} (1-a_{j})[/mm] =
> [mm]\produkt_{i=1}^{n} (1-a_{i})[/mm] * [mm](1-a_{n+1}) \le[/mm] (1- [mm]\produkt_{i=1}^{n} a_{i})[/mm] * [mm](1-a_{n+1})[/mm]
> = 1 - [mm]a_{n+1} -\produkt_{i=1}^{n} a_{i}[/mm] + [mm](\produkt_{i=1}^{n} a_{i}[/mm] * [mm]a_{n+1})[/mm]
> = 1 - [mm]a_{n+1}[/mm] - [mm]\produkt_{i=1}^{n} a_{i}[/mm] + [mm]\produkt_{i=1}^{n+1} a_{i} \le[/mm] 1- [mm]\produkt_{i=1}^{n+1} a_{i}[/mm]
>
>
> da kann ich das dann ja auch wieder aus den gleichen
> Gründen weg schätzen....und dann müsste das doch auch so
> passen oder?
Hallo,
ja, mit den richtigen Begründungen paßt's.
Gruß v. Angela
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Danke für die nette Hilfe beim Lösen dieser Aufgabe.
Nun habe ich zumindestens nicht mehr so ein Grauen vor Induktionsbeweisen :)
LG Schmetterfee
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Hallo,
ich rechne grad an der gleichen Aufgabe rum und habe den gleichen Ansatz. Allerdings komm ich an einer stelle nicht weiter, weil mir der Schritt nicht eindeutig ist. Und zwar:
Warum kann man nun:
[mm] a_{n+1} [/mm] + [mm] \produkt_{i=1}^{n}a_{i} [/mm] weglassen?
Gruß
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> Hallo,
> ich rechne grad an der gleichen Aufgabe rum und habe den
> gleichen Ansatz.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Allerdings komm ich an einer stelle nicht
> weiter, weil mir der Schritt nicht eindeutig ist. Und
> zwar:
>
> Warum kann man nun:
> [mm]a_{n+1}[/mm] + [mm]\produkt_{i=1}^{n}a_{i}[/mm] weglassen?
Poste doch in Zukunft ein wenig Zusammenhang mit, damit man auf einen Blick sieht, worum es geht.
Ist Dir klar, warum 5 + 9 + 3 [mm] \ge [/mm] 3 richtig ist?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:12 So 31.10.2010 | | Autor: | littlebond |
oh, danke . . .
Jetzt ist es mir klar, war wohl gestern schon ein bischen spät.
Viele Dank
Gruß
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