Beweis von Mengen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:20 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Ursus |
Hi Leute!
Ich hab mal wieder ein Problem mit Beweise und zwar soll ich
a) A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \gdw [/mm] P(A) [mm] \subseteq [/mm] P(B)
b) P(A) [mm] \cap [/mm] P(B) =P (A [mm] \cap [/mm] B) beweisen.
Ich kann mir die Beispiele schon vorstellen, ich weiß auch, dass sie stimmen aber mir fehlt wieder einmal die Idee WIE ich das beweisen kann.
Vielen Dank für eure Hilfe!
bis bald, mfg ursus
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Hallo Ursus,
das ist doch ganz leicht, wenn du dir zunächst erst mal überlegst, welche Mengen in den einzelnen Potenzmengen enthalten sind.
Gib dir einfach vor, dass M Element von P(A) ist. Dann besitzt M nur Elemente aus A. Alle Elemente von A sind auch Elemente von B. Deshalb ist M eine Teilmenge von B.
Das was der Beweis des ersten Teils.
Teil b) musst du dir selbst überlegen. Insbesondere musst du, um Gleichheit zu zeigen, zwei 'Rechnungen' durchführen.
Hugo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:15 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich schreibe dir die a) mal formal auf, denn dort wird ja eine Äquivalenz verlangt:
Zu zeigen:
$A [mm] \subseteq [/mm] B$ [mm] $\gdw$ $P(A)\subseteq [/mm] P(B)$
1. Richtung [mm] "$\Rightarrow$":
[/mm]
Es gelte $A [mm] \subseteq [/mm] B$. Ist $X [mm] \in [/mm] P(A)$, so folgt [m]X \subseteq A \underbrace{\subseteq}_{wegen\;A \subseteq B} B[/m] und daher gilt: [m]X \subseteq B[/m] und damit auch $X [mm] \in [/mm] P(B)$.
Also gilt dann auch [mm] $P(A)\subseteq [/mm] P(B)$.
2. Richtung [mm] "$\Leftarrow$":
[/mm]
Es gelte $P(A) [mm] \subseteq [/mm] P(B)$. D.h. aber nach "Definition Teilmenge":
[mm] $\forall [/mm] X [mm] \in [/mm] P(A)$ gilt: $X [mm] \in [/mm] P(B)$,
was nach Definition der Potenzmenge impliziert:
[mm] $(\star)$ [/mm] Ist $X$ irgendeine Teilmenge von $A$, so ist $X$ auch eine Teilmenge von $B$.
Ist nun $y [mm] \in [/mm] A$ irgendein Element von $A$, so ist [mm] $\{y\}\subseteq [/mm] A$ und daher auch [mm] $\{y\} \subseteq [/mm] B$ wegen [mm] $(\star)$. [/mm]
Also gilt [mm] $\forall [/mm] y [mm] \in [/mm] A$ auch $y [mm] \in [/mm] B$ und daher $A [mm] \subseteq [/mm] B$.
Zu der zweiten Aufgabe:
Zeige zunächst:
1.) [mm] $P(A)\cap [/mm] P(B) [mm] \subseteq [/mm] P(A [mm] \cap [/mm] B)$
Dann zeige:
2.) $P(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subseteq P(A)\cap [/mm] P(B)$
Aus 1.) und 2.) folgt dann die Behauptung!
Liebe Grüße,
Marcel
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