Beweis von Gesetz < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Für [mm] a,b\in(0,\infty),z,w\in\IC [/mm] und [mm] x\in\IR [/mm] zeige man:
[mm] |a^{z}|=a^{Re(z)} [/mm] |
Wie zeige ich dass diese Regel gilt ?? ... Ich benutze sie zwar immer, hab aber keine Ahnung was dahinter steckt ...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Fr 16.05.2014 | | Autor: | abakus |
> Für [mm]a,b\in(0,\infty),z,w\in\IC[/mm] und [mm]x\in\IR[/mm] zeige man:
> [mm]|a^{z}|=a^{Re(z)}[/mm]
> Wie zeige ich dass diese Regel gilt ?? ... Ich benutze sie
> zwar immer, hab aber keine Ahnung was dahinter steckt ...
Hallo,
wieso werden b und w irgendwie definiert und dann hier nicht verwendet?
Vielleicht hilft dir die Antwort darauf weiter.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Fr 16.05.2014 | | Autor: | fred97 |
Wie ist denn [mm] a^z [/mm] definiert ??
FRED
|
|
|
| |
|
Ich komm noch nicht wirklich dahinter ...
Also a=Re(z)
Ist dann [mm] a^{z} [/mm] = [mm] Re(z)^{z} [/mm] ???
Doch was mache ich mit dem Betrag, ich kenn nur die Regel [mm] |z|=\wurzel{a^{2}+b^{2}} [/mm] aber das hilft mir ja nicht wirklich weiter...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Sa 17.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich komm noch nicht wirklich dahinter ...
> Also a=Re(z)
> Ist dann [mm]a^{z}[/mm] = [mm]Re(z)^{z}[/mm] ???
> Doch was mache ich mit dem Betrag, ich kenn nur die Regel
> [mm]|z|=\wurzel{a^{2}+b^{2}}[/mm] aber das hilft mir ja nicht
> wirklich weiter...
Nochmal:
Wie ist denn $ [mm] a^z [/mm] $ definiert ??
FRED
|
|
|
| |
|
Das ist ja mein Problem, ich finde nirgens eine Definition dazu und nur die oben aufgelisteten "Einzeldefinitionen" ...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Sa 17.05.2014 | | Autor: | abakus |
> Das ist ja mein Problem, ich finde nirgens eine Definition
> dazu und nur die oben aufgelisteten "Einzeldefinitionen"
> ...
Hallo,
ihr müsst doch irgendwann in letzter Zeit die Exponentialfunktion mit komplexen Exponenten behandelt haben?!?
Und wenn nicht [mm] $a^z$, [/mm] dann wenigstens [mm] $e^z$?
[/mm]
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
Wir sollen uns das irgendwie selber erarbeiten, also hab ich da wenig grundwissen...
Also google hat mir gesagt:
[mm] e^{z}=\summe_{i=0}^{\infinity}\bruch{z^{n}}{n!}
[/mm]
aber wie hilft mir das weiter?
|
|
|
| |
|
Ich habe immer noch keine Ahnung wie ich diese Aufgabe lösen kann, habe nochmal sämtliche Regeln gegooglet aber nicht eine Definition für [mm] a^{z} [/mm] gefunden ...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:35 So 18.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreibe [mm] a=e^{lna}
[/mm]
z=x+iy
und verwende [mm] e^{ir}==cos(r)+i*sin(r)
[/mm]
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
Ich verstehe das leider überhaupt nicht :/ ... Ich würde dann da stehen haben:
[mm] |e^{ln(a)}^{a+bi}|
[/mm]
bzw.
[mm] |e^{ln(Re(a+bi)}^{a+bi}|
[/mm]
... doch was bringt mir das??
In der vorschau stellt der Formeleditor leider den zweiten Exponenten nicht richtig dar da sollte eigentlich stehe e hoch ln(a) hoch (a+bi) bzw. e hoch ln(Re(a+bi)) hoch (a+bi)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 Mo 19.05.2014 | | Autor: | fred97 |
Es ist [mm] a^z:=e^{z*ln(a)} [/mm] .
Mit z=x+iy (x,y [mm] \in \IR) [/mm] hat man dann:
[mm] a^z=e^{x*ln(a)+iy*ln(a)}=e^{x*ln(a)}*e^{iy*ln(a)}=a^x*e^{iy*ln(a)}
[/mm]
Somit:
[mm] |a^z|=a^x*|e^{iy*ln(a)}|
[/mm]
Nun sag Du uns, wie [mm] |e^{iy*ln(a)}| [/mm] ausfällt (beachte a [mm] \in \IR).
[/mm]
FRED
|
|
|
|
