Beweis von Beträgen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Do 14.11.2013 | | Autor: | hamade9 |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Aussage.
Für alle a [mm] \in \IR [/mm] und b [mm] \in \IR [/mm] gilt
| |a| - |b| | [mm] \le [/mm] |a - b| [mm] \le [/mm] |a| + |b| |
Muss ich hier jeden fall durchgehen? Also einmal a und b positiv... dann ab und b neg... und beide jeweils einmal neg.? Oder gibt es hier eine anderen Ansatz?
Danke für eure Hilfe
Schöne grüße Ibo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Do 14.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie folgende Aussage.
> Für alle a [mm]\in \IR[/mm] und b [mm]\in \IR[/mm] gilt
> | |a| - |b| | [mm]\le[/mm] |a - b| [mm]\le[/mm] |a| + |b|
> Muss ich hier jeden fall durchgehen? Also einmal a und b
> positiv... dann ab und b neg... und beide jeweils einmal
> neg.? Oder gibt es hier eine anderen Ansatz?
Betrachten wir zuerst die Ungleichung
(1) |a-b| [mm] \le [/mm] |a|+|b|.
Was wir benötigen ist:
(2) [mm] \pm [/mm] x [mm] \le [/mm] |x| für jedes x [mm] \in \IR [/mm]
(das folgt sofort aus der Def. des Betrags).
Zu (1):
Fall 1: a+b [mm] \ge [/mm] 0. Dann: |a+b|=a+b [mm] \le|a|+|b| [/mm] (hier wurde (2) benutzt.)
Fall 2: a+b<0. Versuchs Du nun.
Zu
(3) | |a| - |b| | [mm]\le[/mm] |a - b| :
Es ist |a|=|a-b+b| [mm] \le [/mm] |a-b| +|b| (nach (1)).
Also: |a|-|b| [mm] \le [/mm] |a-b|
Jetzt zeige Du: |b|-|a| [mm] \le [/mm] |a-b|.
Wenn Du das geschafft hast, bist Du fertig mit (3). Ist Dir klar, warum ?
FRED
>
> Danke für eure Hilfe
>
>
> Schöne grüße Ibo
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