Beweis von < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Do 10.03.2011 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Zeigen Sie die Gültigkeit folgender Aussage:
$ [mm] 7|(a^2+b^2) \Rightarrow [/mm] 7|a [mm] \wedge [/mm] 7|b$ (mit $a,b [mm] \in \mathbb{Z}$). [/mm] |
Indirekt glückt mir der Beweis, in dem ich die Fälle
$n = 7k+1, 7k+2, [mm] \ldots, [/mm] 7k+6$ unterscheide und dann diese n in [mm] $a^2+b^2$ [/mm] einsetze. Die negativen Fälle brauche ich ja nicht zu behandeln, da etwa $7k + 5 = 7k-2 $ bedeutet, wo nur das k um eins geringer ist.
Das Problem bei meiner Idee ist der immense Aufwand die Aussage zu beweisen. Ich habe es auch schon direkt aus der Definition der Teilbarkeit probiert:
[mm] $7|(a^2+b^2) \Rightarrow \exists k\in \mathbb{Z}: [/mm] 7k = [mm] a^2+b^2. \Rightarrow [/mm] a = [mm] \pm \sqrt{7*k-b^2}.$ [/mm] Es muss mir hier "nur noch" gelingen, zu zeigen, dass eben nur ein Quadrat abgezogen von einer durch sieben teilbaren Zahl, ganzzahlig (laut Voraussetzung) ist. Ich finde jedoch kein (passendes) Argument, welches mich hier weiterbringt. Weiß einer von euch weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Do 10.03.2011 | | Autor: | abakus |
> Zeigen Sie die Gültigkeit folgender Aussage:
> [mm]7|(a^2+b^2) \Rightarrow 7|a \wedge 7|b[/mm] (mit [mm]a,b \in \mathbb{Z}[/mm]).
>
> Indirekt glückt mir der Beweis, in dem ich die Fälle
> [mm]n = 7k+1, 7k+2, \ldots, 7k+6[/mm] unterscheide und dann diese n
> in [mm]a^2+b^2[/mm] einsetze. Die negativen Fälle brauche ich ja
> nicht zu behandeln, da etwa [mm]7k + 5 = 7k-2[/mm] bedeutet, wo nur
> das k um eins geringer ist.
>
> Das Problem bei meiner Idee ist der immense Aufwand die
Übertreibe nicht. Es gibt 7 mögliche Reste. Bei einem indirekten Beweis schließt du den Rest 0 aus --> bleiben die möglichen Rest 1,2,3,4,5 und 6.
Die zugehörigen Quadratzahlen lassen die Reste 1, 4, 2, 2, 4 und 1.
Es gibt kein Paar aus diesen Zahlen, welches die Summe 7 ergibt. (Zur 1 fehlt der (bei den Quadratzahlen nicht vorhandene Rest) 6, zur 2 fehlt die 5, zur 4 fehlt die 3).
Gruß Abakus
> Aussage zu beweisen. Ich habe es auch schon direkt aus der
> Definition der Teilbarkeit probiert:
> [mm]7|(a^2+b^2) \Rightarrow \exists k\in \mathbb{Z}: 7k = a^2+b^2. \Rightarrow a = \pm \sqrt{7*k-b^2}.[/mm]
> Es muss mir hier "nur noch" gelingen, zu zeigen, dass eben
> nur ein Quadrat abgezogen von einer durch sieben teilbaren
> Zahl, ganzzahlig (laut Voraussetzung) ist. Ich finde jedoch
> kein (passendes) Argument, welches mich hier weiterbringt.
> Weiß einer von euch weiter?
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