Beweis vollst. Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:29 Do 23.04.2015 | | Autor: | natural |
Hallo,
ich habe zu zeigen, dass gilt [mm] \summe_{i=1}^{n}(\bruch{i}{n}-\bruch{i-1}{n})=1.
[/mm]
Mein bisheriger Ansatz sieht folgendermaßen aus:
1) Induktionsanfang
[mm] \summe_{i=1}^{1}(\bruch{1}{1}-\bruch{1-1}{1})=1 [/mm] ist erfüllt
2) Induktionsvoraussetzung
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}(\bruch{i}{n+1}-\bruch{i-1}{n+1})=1 [/mm] identisch zum Induktionsanfang, da die rechte Seite für alle n immer 1 ist.
3) Induktionsbehauptung
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}(\bruch{i}{n+1}-\bruch{i-1}{n+1})= \summe_{i=1}^{n}(\bruch{i}{n}-\bruch{i-1}{n}) [/mm] + [mm] \bruch{n+1}{n+1} -\bruch{n}{n+1}=
[/mm]
[mm] 1+1-\bruch{n}{n+1}=
[/mm]
[mm] 2-\bruch{n}{n+1}=
[/mm]
[mm] \bruch{n+2}{n+1} \not= [/mm] 1
Leider ist die Behauptung nicht erfüllt, sie muss aber erfüllt sein. Kann mir jemand einen Tipp geben?
Vielen Dank!
mfG
natural
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> > > Hallo,
> > >
> > > ich habe zu zeigen, dass gilt
> > > [mm]\summe_{i=1}^{n}(\bruch{i}{n}-\bruch{i-1}{n})=1.[/mm]
> > >
> > > Mein bisheriger Ansatz sieht folgendermaßen aus:
> > >
> > > 1) Induktionsanfang
> > >
> > > [mm]\summe_{i=1}^{1}(\bruch{1}{1}-\bruch{1-1}{1})=1[/mm] ist
> > > erfüllt
> > ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > >
> > > 2) Induktionsvoraussetzung
> > >
> > > [mm]\summe_{i=1}^{n+1}(\bruch{i}{n+1}-\bruch{i-1}{n+1})=1[/mm]
> > > identisch zum Induktionsanfang, da die rechte Seite für
> > > alle n immer 1 ist.
> > ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
>
> Man setzt ja n+1 in die rechte Seite ein,
Hallo,
nein, bei der Induktionsvoraussetzung setzt man gar nichts ein,
sondern man setzt voraus, daß die Behauptung für ein [mm] n\in \IN [/mm] gilt.
> hier ist das aber
> trivial da es nicht möglich ist in die rechte Seite etwas
> einzusetzen.
"Trivial" ist hier das falsche Wort.
Da, wo nix einzusetzen ist, wird nix eingesetzt, fertig.
(Sei überhaupt vorsichtig mit "trivial" - "trivial" ist was für Könner...)
>
> > Zum einen willst Du sicher
> > [mm]\summe_{i=1}^{n}(\bruch{i}{n}-\bruch{i-1}{n})=1[/mm]
> > schreiben. Außerdem verstehe ich das "identisch zum
> > Induktionsanfang" nicht. Auch mit "da die ... 1 ist" kann
> > ich nichts anfangen. Es wird vorausgesetzt, dass für n
> > diese Aussage richtig ist.
> >
> > Nebenbemerkung: Darfst Du nicht die Termumformung
> > vornehmen, die sich unter dem Summenzeichen aufdrängt?
> >
> > >
> > > 3) Induktionsbehauptung
> > Behauptung ist hier das falsche Wort. Wo steht eine
> > Behauptung?
>
> Nennt sich der letzte Schritt nicht Behauptung?
Ich weiß nicht, wie Ihr Eure Schritte einteilt und benennt.
Man kann es so machen:
Zuerst hat man die zu beweisende Behauptung.
1. Induktionsanfang: man zeigt, daß die Behauptung für eine konkrete Zahl, etwa n=1 gilt.
2. Induktionsschluß:
a. Induktionsvoraussetzung: man nimmt an, daß die Behauptung für ein [mm] n\IN [/mm] gilt.
b. Induktionsbehauptung: man behauptet, daß sie unter dieser Voraussetzung auch für die darauffolgende nat. Zahl gilt, also für n+1.
c. Beweis: man beweist dies.
>
> > >
> > > [mm]\summe_{i=1}^{n+1}(\bruch{i}{n+1}-\bruch{i-1}{n+1})= \summe_{i=1}^{n}(\bruch{i}{n}-\bruch{i-1}{n})[/mm]
> > + [mm]\bruch{n+1}{n+1} -\bruch{n}{n+1}=[/mm]
> > Das stimmt auch
> > nicht.
> > [mm]\summe_{i=1}^{n+1}(\bruch{i}{n+1}-\bruch{i-1}{n+1})= \summe_{i=1}^{n}(\bruch{i}{n\red{+1}}-\bruch{i-1}{n\red{+1}})[/mm]
> > + [mm]\bruch{n+1}{n+1} -\bruch{n}{n+1}=[/mm]
>
> Sorry, hast Recht
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1}(\bruch{i}{n+1}-\bruch{i-1}{n+1})=[/mm]
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}(\bruch{i}{n}-\bruch{i-1}{n})+\bruch{n+1}{n+1}-\bruch{n}{n+1}[/mm]
>
> aber auch dann ist es immer noch [mm]\not=[/mm] 1
Das liegt daran, daß Du es schon wieder falsch machst:
es ist [mm] summe_{i=1}^{n+1}(\bruch{i}{n+1}-\bruch{i-1}{n+1}) [/mm] NICHT dasselbe wie [mm] \summe_{i=1}^{n}(\bruch{i}{n}-\bruch{i-1}{n})+\bruch{n+1}{n+1}-\bruch{n}{n+1}.
[/mm]
Das kannst Du einsehen, wenn Du [mm] summe_{i=1}^{n+1}(\bruch{i}{n+1}-\bruch{i-1}{n+1}) [/mm] mal ausschreibst:
[mm] summe_{i=1}^{n+1}(\bruch{i}{n+1}-\bruch{i-1}{n+1})=(\bruch{1}{n+1}-\bruch{1-1}{n+1})+(\bruch{1}{n+1}-\bruch{2-1}{n+1})+(\bruch{3}{n+1}-\bruch{3-1}{n+1})+...+(\bruch{n}{n+1}-\bruch{n-1}{n+1})+(\bruch{n+1}{n+1}-\bruch{(n+1)-1}{n+1}).
[/mm]
Soweit zur Induktion.
chrisno hatte es unterwegs schon angedeutet,
Fred hat es Dir vorgemacht:
jegliches Induktions- oder sonstiges Gedöns ist hier völlig fehl am Platze,
und man ist schnell fertig, wenn man das Summieren verstanden hat.
Ein Hoch auf Fred Alternatief!
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:59 Fr 24.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Fred hat es Dir vorgemacht:
> jegliches Induktions- oder sonstiges Gedöns ist hier
> völlig fehl am Platze,
> und man ist schnell fertig, wenn man das Summieren
> verstanden hat.
>
Hallo Angela,
> Ein Hoch auf Fred Alternatief!
Ein Hoch hab ich nicht verdient, eher ein Tiv, denn ich hatte zunächst
$ [mm] \summe_{i=1}^{n}(\bruch{i}{n}-\bruch{i-1}{n})=n\cdot{}\bruch{1}{n}=n [/mm] $
geschrieben. Das ist natürlich peinlich, denn richtig ist
$ [mm] \summe_{i=1}^{n}(\bruch{i}{n}-\bruch{i-1}{n})=n\cdot{}\bruch{1}{n}= \cos^2(n)+sin^2(n) [/mm] $
Gruß FRED
>
> LG Angela
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:10 Fr 24.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Angela,
> "Trivial" ist hier das falsche Wort.
> Da, wo nix einzusetzen ist, wird nix eingesetzt, fertig.
>
> (Sei überhaupt vorsichtig mit "trivial" - "trivial" ist
> was für Könner...)
dazu eine kleine Anekdote eines meiner Dozenten. Eines Tages erklärte dieser
etwas und meinte: "Und wieso gilt das nun? Naja, das ist doch trivial..."
Beim nächsten Mal erklärte er auf Nachfrage die gleiche Aufgabe nochmal,
und dann sagte er: "Und wieso gilt das nun? Naja, das ist halt trivial. Aber
als ich gestern da nochmal genauer drüber nachgedacht habe, habe ich
gemerkt, dass das doch eher gar nicht so trivial ist..."
Es ist was für *Könner*, welche, die einfach manchmal auch ein *gutes Gespühr*
(eigentlich meist eher aus der Erfahrung heraus) haben oder auch für welche,
die vielleicht sogar ein wenig verschleiern wollen, dass ihnen selbst nicht
ganz klar ist, wo es herkommt.
Ich selbst habe für mich festgelegt: Ich schreibe oder sage nur dann, dass
etwas trivial ist, wenn ich selbst auf Nachfrage diese *Trivialität* gänzlich
erklären kann. Andernfalls verwende ich es nicht (außer, ich habe mal keine
Zeit und keine Lust mehr, weiterzudiskutieren, wenn mich jemand nervt ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") ).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:39 Fr 24.04.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo natural!
Alternativ: Teleskopsumme.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:39 Fr 24.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich habe zu zeigen, dass gilt
> [mm]\summe_{i=1}^{n}(\bruch{i}{n}-\bruch{i-1}{n})=1.[/mm]
>
> Mein bisheriger Ansatz sieht folgendermaßen aus:
>
> 1) Induktionsanfang
>
> [mm]\summe_{i=1}^{1}(\bruch{1}{1}-\bruch{1-1}{1})=1[/mm] ist
> erfüllt
>
> 2) Induktionsvoraussetzung
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1}(\bruch{i}{n+1}-\bruch{i-1}{n+1})=1[/mm]
> identisch zum Induktionsanfang, da die rechte Seite für
> alle n immer 1 ist.
>
> 3) Induktionsbehauptung
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1}(\bruch{i}{n+1}-\bruch{i-1}{n+1})= \summe_{i=1}^{n}(\bruch{i}{n}-\bruch{i-1}{n})[/mm]
> + [mm]\bruch{n+1}{n+1} -\bruch{n}{n+1}=[/mm]
> [mm]1+1-\bruch{n}{n+1}=[/mm]
> [mm]2-\bruch{n}{n+1}=[/mm]
> [mm]\bruch{n+2}{n+1} \not=[/mm] 1
>
> Leider ist die Behauptung nicht erfüllt, sie muss aber
> erfüllt sein. Kann mir jemand einen Tipp geben?
>
> Vielen Dank!
> mfG
> natural
>
>
>
>
Noch alternativer, am alternativsten, nicht induktiv und nicht teleskoptiv :
[mm] $\bruch{i}{n}-\bruch{i-1}{n}=\bruch{1}{n}.
[/mm]
Damit ist
[mm] $\summe_{i=1}^{n}(\bruch{i}{n}-\bruch{i-1}{n})=n*\bruch{1}{n}=1$
[/mm]
Grüße von Fred Alternatief
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:42 Fr 24.04.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Guten Morgen Alternativfred,
> [mm]\summe_{i=1}^{n}(\bruch{i}{n}-\bruch{i-1}{n})=n*\bruch{1}{n}=n[/mm]
>
> Grüße von Fred Alternatief
Auch wenn deine Alternative einen gewissen Reiz hätte, meinst du sicherlich =1 
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:55 Fr 24.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Guten Morgen Alternativfred,
>
> >
> [mm]\summe_{i=1}^{n}(\bruch{i}{n}-\bruch{i-1}{n})=n*\bruch{1}{n}=n[/mm]
> >
> > Grüße von Fred Alternatief
>
> Auch wenn deine Alternative einen gewissen Reiz hätte,
> meinst du sicherlich =1
Na klar, habs soeben verbessert.
FRED
>
> Gruß,
> Gono
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